Minimum f (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 değeri?

#f (x, y) = x ^ 2 + 13 yıl ^ 2-6xy-4y-2 #

# => (X, y) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 f #

# => (X, y) = (X-3y) ^ 2 + (2y-1) ^ 2-3 # f

Her kare ifadenin minimum değeri sıfır olmalıdır.

Yani # F (x, y) _ "min" = - 3 #

Cevap:

Adresinde göreceli bir minimum var #(3/2,1/2)# ve #f (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

Açıklama:

Kısmi türevleri hesaplamamız gerektiğini düşünüyorum.

İşte, #f (X, Y) = x ^ 2 + 13 yıl ^ 2-6xy-4y-2 #

İlk kısmi türevler

# (Delf) / (delx) = 2x-6y #

# (Delf) / (dELy) = 26y-6x-4 #

Kritik noktalar

# {(2x-6y = 0), (26y-6x-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = X), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = X), (8y = 4):} #

#<=>#, # {De (x = 3/2), (y = 1/2):} #

İkinci kısmi türevler

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (Del ^ 2f) / (dELy ^ 2) 26 # =

# (Del ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (Del ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

Hessian matrisinin belirleyicisi

#D (x, y) = (| (del ^ 2f) delxdely / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / ()), ((del ^ 2f) / (dELy ^ 2), (del ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

Gibi #D (x, y)> 0 #

ve

# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

Adresinde göreceli bir minimum var #(3/2,1/2)#

Ve

#f (3 / 2,1 / 2) = 1.5 ^ 2 + 13 * 0.5 ^ 2-6 * 1,5 * 0.5-4 * 0.5-2 = -3 #