[0, pi / 4] 'te f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x'in mutlak ekstremitesi nedir?

Cevap:

mutlak maksimum: # (pi / 4, pi / 4) #

mutlak min: #(0, 0)#

Açıklama:

Verilen: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x, 0, pi / 4 #

Ürün kuralını iki kez kullanarak ilk türevi bulun.

Ürün kuralı: # (uv) '= uv' + v u '#

let #u = 2x; "" u '= 2 #

let #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 günah x cos x #

#f '(x) = 2x2 günah x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Denklemin ikinci yarısı için:

let #u = x; "" u '= 1 #

let #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 günah x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

basitleştirin:

#f '(x) = iptal et (2x günah (2x)) + 2sin ^ 2x iptal (-2x günah (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 günah ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 günah ^ 2x + cos ^ 2x - günah 2 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Pisagor Kimliği # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Bu, ne zaman kritik bir değerin olmadığı anlamına gelir. #f '(x) = 0 #

Mutlak Maksimum ve minimum değerler, fonksiyon aralığının bitiş noktalarında bulunur.

İşlevin bitiş noktalarını test edin:

#f (0) = 0; "Mutlak minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 gün ^ ^ (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Mutlak maksimum:" (pi / 4, pi / 4) #