Kanıtlayın (1 + Log_5 8 + Log_5 2) / log_5 6400 = 0.5 Lütfen her logun temel sayısının 5 ve 10 olmadığını not edin. Sürekli olarak 1/80, biri yardım edebilir mi?

Cevap:

#1/2#

Açıklama:

#6400 = 25*256 = 5^2*2^8#

# => log (6400) = log (5 ^ 2) + log (2 ^ 8) = 2 + 8 log (2) #

#log (8) = log (2 ^ 3) = 3 log (2) #

# => (1 + log (8) + log (2)) / log (6400) = (1 + 4 log (2)) / (2 + 8log (2)) = 1/2 #

Cevap:

Ortak logaritmik kimlikleri uygulayın.

Açıklama:

Denklemi yeniden yazarak başlayalım, böylece okunması daha kolay olur:

Kanıtla:

# (1 + log_5 8 + log_5 2) / (log_5 6400) = 0,5 #

İlk önce bunu biliyoruz #log_x a + log_x b = log_x ab #. Bunu denklemimizi basitleştirmek için kullanıyoruz:

# (1 + log_5 8 + log_5 2) / (log_5 6400) = (1 + log_5 (8 * 2)) / (log_5 6400) = (1 + log_5 16) / (log_5 6400) #

"#1+#"yoldan çıkıyor, hadi ondan kurtulalım. Bunu biliyoruz #log_x x = 1 #, bu yüzden yerine:

# (1 + log_5 16) / (log_5 6400) = (log_5 5 + log_5 16) / (log_5 6400) #

Aynı ekleme kuralını öncekinden kullanarak, şunu elde ederiz:

# (log_5 5 + log_5 16) / (log_5 6400) = (log_5 5 * 16) / (log_5 6400) = (log_5 80) / (log_5 6400) #

Sonunda bunu biliyoruz #log_x a = log_b a / log_b x #. Bu genellikle "temel formül değişikliği" olarak adlandırılır - nerede olduğunu hatırlamanın kolay bir yolu # X # ve # Bir # git bu # X # altında # Bir # Orijinal denklemde (çünkü küçük # Günlüğü #).

Bu kuralı denklemimizi basitleştirmek için kullanıyoruz:

# (log_5 80) / (log_5 6400) = log_6400 80 #

Logaritmayı bir üsse tekrar yazabiliriz ve kolaylaştırmak için:

# log_6400 80 = x #

# 6400 ^ x = 80 #

Ve şimdi bunu görüyoruz #x = 0.5 #, dan beri #sqrt (6400) = 6400 ^ 0.5 = 80 #.

#kare#

Muhtemelen bu hatayı yaptın # (log_5 80) / (log_5 6400) = 80/6400 = 1/80 #. Dikkatli ol, bu doğru değil.