90 ^ 9 sayısı 1900 farklı pozitif ayrılmaz bölene sahiptir. Bunlardan kaç tanesi tam sayı kareler?

Cevap:

Vay - kendi soruma cevap veriyorum.

Açıklama:

Yaklaşımın birleştirici ve sayı teorisinin bir birleşimi olduğu ortaya çıktı. Faktoring ile başlıyoruz #90^9# Başlıca faktörlerine:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Buradaki hile, tam sayıların karelerinin nasıl bulunacağını bulmaktır. Tamsayının kareleri, bu çarpanlaştırmaya göre çeşitli şekillerde üretilebilir:

#5^9*3^18*2^9#

Bunu görebiliriz #5^0#örneğin, bir tamsayı karesi ve bir bölen #90^9#; aynı şekilde, #5^2#, #5^4#,#5^6#, ve #5^8# hepsi de bu şartları yerine getiriyor. Bu nedenle, bir böleni yapılandırmak için 5 olası yolumuz var. #90^9# bu sadece 5s kullanan bir tamsayı karesidir.

Aynı sebep geçerli #3^18# ve #2^9#. Bu asal faktörlerin her bir gücü - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (toplamda 10) 3 ve 0, 2, 4, 6, 8 (toplamda 5) 2 - bir bölen olan mükemmel bir kare #90^9#. Ayrıca, herhangi bir kombinasyon hatta bu güçleri bile olan birinci sınıf bölenlerin de şartları yerine getirmesi. Örneğin, #(2^2*5^2)^2# olduğu gibi bir tamsayı karesi #(3^8*2^4)^2#; ve her ikisi de, bölenlerin #90^9#, aynı zamanda #90^9#.

Böylece, istenen bölen tam sayı kareleri. #90^9# tarafından verilir #5*10*5#Her bir ana faktör için olası seçeneklerin çarpımıdır (5 için 5, 3 için 10 ve 2 için 5). Bu eşittir #250#, doğru cevap budur.