Aşağıdaki polinom fonksiyonunun olası sıfırlarını bulmak için Rasyonel Sıfırlar Teoremini kullanın: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Cevap:

Mümkün akılcı sıfırlar:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Açıklama:

Verilen:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Rasyonel sıfır teoremi ile, herhangi bir rasyonel sıfır #f (x) # şeklinde anlaşılabilir # P / q # tamsayılar için #p, q # ile # P # sabit terimin böleni #-35# ve # Q # katsayının böleni #33# Önde gelen terimin.

Bölenler #-35# şunlardır:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Bölenler #33# şunlardır:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Yani olası rasyonel sıfırlar:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

veya artan boyutta:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Bunların sadece rasyonel olasılıklar olduğuna dikkat edin. Rasyonel sıfır teoremi bize olası irrasyonel veya karmaşık sıfırlardan bahsetmiyor.

Descartes'ın İşaret Kuralını kullanarak, bu küpün negatif sıfırları olmadığını belirleyebiliriz ve #1# veya #3# pozitif gerçek sıfırlar.

Yani mümkün olan tek rasyonel sıfırlar:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Her birini sırasıyla deneyerek bulduk:

#f (1/11) = 33 (renkli (mavi) (1/11)) ^ 3-245 (renkli (mavi) (1/11)) ^ 2 + 407 (renkli (mavi) (1/11)) -35 #

#color (beyaz) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (beyaz) (f (1/11)) = 0 #

Yani #, X = 1/11 # sıfır # 11x-1 # bir faktör:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Kalan karesel oranını belirlemek için bir AC yöntemi kullanabiliriz:

Bir çift faktör bulun #AC = 3 * 35 = 105 # toplamla # B = 22 #

Çift #15, 7# Eserleri.

Ortadaki ifadeyi bölmek için bu çifti kullanın, ardından gruplayarak faktörü:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (beyaz) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (beyaz) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Yani diğer iki sıfır:

# x = 7/3 "" # ve # "" x = 5 #