F (x) = x ^ 3 + x-1 için [0,1] aralığında bir sıfır olduğunu doğrulamak için orta değer teoremini nasıl kullanırsınız?

Cevap:

Bu aralıkta tam olarak 1 sıfır var.

Açıklama:

Ara değer teoremi, aralıkta tanımlanmış sürekli bir fonksiyon için # A, b # izin verebiliriz # C # numara olmak

#f (a) <c <f (b) # ve şu #EE x in a, b # öyle ki #f (x) = c #.

Bunun bir sonucu olarak eğer işareti #f (a)! = # işareti #f (b) '# Bu bazı olması gerektiği anlamına gelir a, b #x içindeki #x öyle ki #f (x) = 0 # Çünkü #0# Açıkçası olumsuz ve pozitif arasında.

Öyleyse, bitiş noktalarına geçelim:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

# Dolayısıyla # bu aralıkta en az bir sıfır var. Tek bir kök olup olmadığını kontrol etmek için eğimi veren türevlere bakarız.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

Bunu görebiliriz #AA x a, b, f '(x)> 0 # bu nedenle fonksiyon bu aralıkta her zaman artmaktadır - bu, bu aralıkta sadece bir kök olduğu anlamına gelir.