Root3'ü (1) nasıl basitleştirirsiniz?

Cevap:

#1# veya #1^(1/3)# =#1#

Açıklama:

Küp kök 1'in gücüne 1 yükseltmekle aynıdır #1/3#. 1 bir şeyin gücüne hala 1.

Cevap:

Gerçeklerimizde çalışmak #root 3, {1} # 1 =.

Her sıfır olmayan karmaşık sayının üç küp kökü vardır, yani

#root 3 {1} = 1 veya -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Açıklama:

Gerçek sayılarla çalışıyorsak, not edin #root 3 {1} = kök 3 {1 ^ 3} = 1 #. Bunun karmaşık sayılarla ilgili olduğunu varsayacağım.

Karmaşık sayılara girdiğimizde bulduğumuz tuhaf şeylerden biri de fonksiyonun #f (z) = e ^ {Z} # periyodiktir. Üstel büyüme, periyodiklerin tam tersidir, bu yüzden bu bir sürpriz.

En önemli gerçek Euler kimliğinin karesidir. Ben onu ararım Euler'in Gerçek Kimliği.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

Euler'in Gerçek Kimliği # E ^ z # periyodik periyodik # 2pi:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Euler'in Gerçek Kimliğini herhangi bir tamsayı gücüne yükseltebiliriz # K:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

Bunların birinin küp köküyle ne alakası var? Anahtar bu. Sayılabilir bir şekilde bir tane yazma yolu olduğunu söylüyor. Bazılarının diğerlerinden farklı küp kökleri var. Tamsayılı olmayan üslerin çoklu değerlere neden olmasının nedeni budur.

Hepsi büyük bir kuruş. Genellikle ben sadece şunu yazmaya başlıyorum:

# e ^ {2pi k i} = 1 dört # tamsayı için # K

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + günah (2pi k / 3) #

Son adım elbette Euler'in Formülüdür. # e ^ {i teta} = çünkü cos teta + ı sin teta. #

Biz beri # 2pi # trig fonksiyonlarının periyodikliği (üstel ve Euler Formülünün periyodikliğinden sonra) sadece ardışık üç değer için benzersiz değerlere sahibiz. # Ks. Bunu için değerlendirelim #, K = 0,1, -1 #:

# K=0# dört dörtlü çünkü ({2pi k} / 3) + günah ({2pi k} / 3) = çünkü 0 + ı günah 0 = 1 #

# K=1# dört dörtlü çünkü ({2pi} / 3) + günah ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K=-1# quad quad çünkü (- {2pi} / 3) + günah (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Böylece, birinin küp kökü için üç değer elde ederiz:

#root 3 {1} = 1 veya -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #