1 / (1 + x ^ 3) dx entegrasyonu?

Cevap:

1. / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + SQRT3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / SQRT3) + C #

Açıklama:

Paydayı çarpanlara ayırarak başlayın:

1. + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Şimdi kısmi kesirler yapabiliriz:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-X 1) #

Bulabiliriz # A # örtme yöntemini kullanarak:

# A = 1 / ((metni (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Sonra her iki tarafı da LHS paydası ile çarpabiliriz:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1/3 x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + bx + Cx + C #

# 1 = (1/3 + B) # x ^ 2 + (B + C-1/3) X + (+ 1/3 ° C)

Bu, aşağıdaki denklemleri verir:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3 = 1-> C = 2/3 #

Bu, orijinal integralimizi yeniden yazabileceğimiz anlamına gelir:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

İlk integral açık bir u-ikame kullanılarak yapılabilir, ancak cevabın oldukça açık olduğu anlaşılmaktadır. #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Kalan integrali ikiye bölebiliriz:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

Kandırmanın sebeple çarpılması ve bölünmesiyle sebep olduğu #2# soldaki paydayı u-ikamesi üzerinde kullanmak daha kolay hale getirmektir.

Sol integral İntegral 1 ve sağ integral 2'yi arayacağım.

İntegral 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

Bu integrali ikame için hazırladığımızdan, tek yapmamız gereken ikame # U = x ^ 2-x + 1 #ve türev # 2x-1 #Dolayısıyla, biz buna göre bütünleşmek için bunu bölüyoruz. # U #:

#int cancel (2x-1) / (iptal (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

İntegral 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

Bu integrali forma sokmak istiyoruz:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Bunu yapmak için, payda için kareyi tamamlamamız gerekir:

# X, ^ 2-x + 1 = (X-1/2) ^ 2 + K #

# X, ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + K #

# K = 4/3 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Aşağıdaki gibi bir u-ikamesini tanıtmak istiyoruz:

#, (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

# X 1/2 = SQRT3 / 2u #

#, X = SQRT3 / 2u + 1/2 #

Türev ile çarparak # U # saygı ile bütünleşmek # U #:

# Dx / (du) sqrt (3) / 2 # =

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ 1 (u) + c = 2sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / SQRT3) + C #

Orijinal integralin tamamlanması

Artık İntegral 1 ve Integral 2'ye verilen cevabı bildiğimize göre, son cevabımızı almak için bunları tekrar orijinal ifadeye bağlayabiliriz:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ 1 ((2 x-1) / SQRT3)) + c = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + SQRT3 / 3tan ^ 1 ((2 x-1) / SQRT3) + C #

Cevap:

# / 3LN 1 (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (SQRT3) / 3arctan ((2x-1) / SQRT3) + C #

Açıklama:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1/3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1/3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1/3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1/3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1/3int dx / (x + 1) #-# 1/3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# / 3LN 1 (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) +, C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# / 3LN 1 (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) +, C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# / 3LN 1 (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2-x + 1) +, C #+#int (2dx) / ((2x1) ^ 2 + 3) #

=# / 3LN 1 (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (SQRT3) / 3arctan ((2x-1) / SQRT3) + C #