Elipse yazılabilecek en büyük dikdörtgenin alanı nedir: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

Cevap:

#A = 12 #

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 eşdeğer x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Sorun şu şekilde olabilir:

Max'ı bul # Xy # veya eşdeğerde Max # X ^ 2y ^ 2 # öyle ki

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Şimdi yapma #X = x ^ 2, Y = y ^ 2 # sorun eşdeğerdir

bulmak Vmaks (X * Y) # tabi # X / 4 + E / 9 = 1 #

Durağan noktaların belirlenmesinde lagrangian

# L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) #

Durağanlık koşulları

#grad L (X, Y, lambda) = vec 0 #

veya

# {(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):} #

İçin çözme #, X, Y, lambda # verir

# {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} #

yani # {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 x x 3 = 12 #