Kısmi kesirler kullanarak int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx'i nasıl buldunuz?

Cevap:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Açıklama:

let # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # be = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Sağ tarafını genişleterek, # (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Eşitlik, alırız

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

yani # A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

veya #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

veya # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

x katsayısını 0 ile eşitleyerek, sabitleri eşitleyerek elde ederiz.

# A + B = 3 # ve

# -2A + B = 0 #

A & B için çözüyoruz

#A = 1 ve B = 2 #

Entegrasyon yerine geçerek, #int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * 1 (2 - 2 x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - 1 (2 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #