Bir dalga fonksiyonu nedir ve iyi davranılması, yani fiziksel gerçekliği doğru şekilde göstermesi için şartlar nelerdir?

Cevap:

Dalga fonksiyonu, genliğin (mutlak değer) olasılık dağılımını verdiği karmaşık değerli bir fonksiyondur. Ancak, sıradan bir dalga ile aynı şekilde davranmaz.

Açıklama:

Kuantum mekaniğinde, bir sistemin durumu hakkında konuşuruz. En basit örneklerden biri, örneğin bir elektron gibi, yukarı ya da aşağı doğru dönebilen bir parçacıktır. Bir sistemin dönüşünü ölçtüğümüzde, onu yukarı veya aşağı olarak ölçürüz. Ölçümün sonucundan emin olduğumuz bir durum için eigenstat diyoruz (bir durum yukarı) # Uarr # ve bir aşağı devlet # Darr #).

Ölçüm yapmadan önce, ölçümün sonucundan emin olmadığımız durumlar da var. Bu devletler bir üst üste diyoruz ve bunları şöyle yazabiliriz. # A * uarr + b * darr #. Burada biz var # | A | ^ 2 # ölçme olasılığı # Uarr #, ve # B | ^ 2 # ölçme olasılığı # Darr #. Bu elbette ki demektir # | A | ^ 2 + b | ^ 2 = 1 #. İzin veriyoruz # A, b # karmaşık sayılar olması için, bunun nedeni bu örnekten hemen anlaşılmıyor, ancak dalga fonksiyonu bağlamında daha açık olacak. Sonuç olarak, dönüşleri ölçmek için aynı olasılıkları veren birden fazla devlet var.

Şimdi bu döndürme durumuna bir işlev atamayı deneyebiliriz. Spin ölçümünün sadece iki sonucu olduğundan, sadece iki girişi olan bir fonksiyonumuz vardır. Fonksiyonu çağırırsak # Psi # (Bu bir wavefuntion için kullanılan çok geleneksel bir semboldür) #psi (uarr) a = ve #psi (Darr) b # =.

Şimdi dalga fonksiyonuna geçiyoruz. Bir parçacığın bir yönü elbette ki konumu. Aynı sıkma durumunda olduğu gibi, konum için farklı değerleri ölçebiliriz ve ölçümün sonucunun önceden sabit olmadığı durumlara sahip olabiliriz. Bir parçacığın olabileceği sayısız sonsuzluk konumumuz olduğundan, bu durumu # Bir * "burada" + b * "Orada" # yapmayacağım. Bununla birlikte, yukarıda kullandığımız fonksiyon fikri. Yani herhangi bir yer için # X #karmaşık bir değerimiz var #psi (x) #. Partikülün olasılık yoğunluğu fonksiyonu şimdi # | Psi (x) | ^ 2 #.

Bütün adaletlerde, tarihsel olarak, dalga fonksiyonu fikri, döngünün fikrinden daha eskidir, ama bence, belirli bir dereceye kadar döndürme fikrini anlamak, dalga işlevinin anlaşılmasında yardımcı olur.

Şimdi her şeyden önce, dalga kompleksi neden değerli? İlk sebep girişim fikrinde bulunabilir. Bir partikülün dalga fonksiyonu, kendisi ile etkileşime girebilir. Bu girişim dalga fonksiyonlarının eklenmesiyle ilgilidir, eğer dalga fonksiyonları belli bir noktada aynı mutlak değeri verirse, o zaman etrafındaki bir parçacığın ölçülme olasılığı benzerdir. Bununla birlikte, fonksiyon değerleri farklı olabilir, eğer aynıysa, bunları eklemek genlik veya olasılık yoğunluğunu 4 yapacak (#|2|^2#) kat daha büyük (yapıcı girişim) ve eğer bir işaret ile farklılık gösterirlerse birbirlerini ihmal ederler (yıkıcı girişim). Bununla birlikte, örneğin bir faktöre göre de farklılık gösterebilir #ben#Olasılık yoğunluğu olur demek #2# bu noktada daha büyük. Tüm bu girişimlerin olabileceğini biliyoruz. Dolayısıyla bu daha önce tarif edildiği gibi karmaşık bir değerli dalga fonksiyonunu gösterir.

İkinci sebep Schrödinger denkleminde bulunabilir. Başlangıçta, bu dalga fonksiyonlarının klasik dalgalar gibi davrandığı düşünülüyordu. Ancak, Schrödinger bu dalgaların davranışını veya en azından zaman içindeki evrimini tanımlamaya çalıştığında, klasik dalgaları yöneten denklemin yeterli olmadığını buldu. Çalışması için, denkleme karmaşık bir sayı eklemek zorunda kaldı ve fonksiyonun kendisinin de karmaşık olması gerektiği sonucuna yol açtı ve denklemde ortaya çıkan türevlerin sırası klasik dalga denkleminden farklıydı.

Denklemlerdeki bu fark ikinci sorunuzu da cevaplıyor. Dalga fonksiyonunun evrimi klasik dalgalardan çok farklı olduğundan, klasik dalga fiziğinde kullandığımızla aynı yöntemleri kullanamayız. Elbette kullanabileceğiniz geometrik argümanlar var, ancak kuantum fiziğindeki tüm olguları tanımlamak yeterli olmayacak. Ayrıca, dalga fonksiyonu bir partikülün durumu hakkında çok fazla bilgi vermesine rağmen, gözlemlenebilirlik dönüşü ve konumunun birbirleriyle çok az ilgisi olduğu için size dönüşü hakkında hiçbir şey söylemez.

Belki de ne demek istediğinizi yanlış bir geometrik doğa ile yorumluyorum. Belki ne demek istediğine bir örnek verebilir misin? Belki o zaman size daha fazla yardım edebilirim.

dalga fonksiyonu bir atom veya bir molekül gibi bir kuantum mekanik sistemin durumunu temsil eder.

Ya olarak temsil edilebilir # Psi #, zamandan bağımsız dalga fonksiyonu veya # Psi #, zamana bağlı dalga fonksiyonu.

Çünkü dalga işlev açıkça bir gibi davranan bir sistemi temsil eder dalga (denilen bir tesadüf değil dalga işlevi!), normalde bir beklenir kısıtlanmamış dalga fonksiyonu sınırsızdır. Düşünün ki # Sinx # ve # Cosx #açıkça dalgalar olan iki fonksiyonun etki alanları vardır. # (- oo, oo) #.

ÖRNEK: ORBİTAL İÇİN DALGA FONKSİYONU

Ancak, örneğin yörüngeler alalım. Bir dizi olmalı sınır şartları Bir yörünge için, çünkü açık bir şekilde yörüngeler sonsuz büyük değildir.

Bir dalga fonksiyonu, Atom orbitallerinin doğrusal kombinasyonu moleküler orbitaller oluşturmak için:

#color (mavi) (psi _ ("MO")) = toplam_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = renkli (mavi) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +.)

nerede # C_i # o genleşme katsayısı Her atomik orbitalin, söz konusu moleküler orbitallere olan katkısını belirten ve # Phi_i ^ "AO" # o deneysel / deneme dalga fonksiyonu Her atomik yörünge için.

Bir dalga fonksiyonu bir yörüngeyi temsil edebilmesi gerektiğinden, pozitif bir yarıçapa sahip olmalıdır (#r> 0 #) ve dalga fonksiyonu olmalı tek -valued, kapalı , sürekli , ortogonal ilgili tüm dalga fonksiyonlarına ve boylandırılabilir .

Başka bir deyişle, dikey çizgi testini geçmeli, eğrinin altında sınırlı bir alana sahip olmalı, atlama / süreksizlik / asimtot / kopma olmamalıdır ve aşağıdaki iki denklemi yerine getirmelidir:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(Bir dalga fonksiyonunun integrali ve karmaşık eşleniği #0# eğer dalga fonksiyonları farklıysa)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(Bir dalga fonksiyonunun integrali ve karmaşık eşleniği, eşit olacak şekilde normalleştirilir. #1# eğer dalga fonksiyonları işareti dışında aynıysa # Pmi #)

Hidrojen atomu için küresel koordinatlarda dalga fonksiyonu için bir örnek denklem:

#color (mavi) (psi_ (2pz) (r, teta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (teta, phi) #

# = renk (mavi) (1 / (sqrt (32pi))) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) #

Düşünmek için aslında bunu normalleştirmek için zaman harcadım. Diğer ikisiyle de ortogonaliteyi kontrol etmek için zaman bile ayırdım. # 2p # dalga fonksiyonları.: P

Sadece durumda, işte yukarıda Scratchpad'lerde neye bağladığımın bir eki.

#' '#

Normalizasyonu

# 2p_z # atomik yörünge dalga fonksiyonu:

#psi_ (2PZ) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (teta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Mı # 2p_z # dalga fonksiyonu Gerçekten mi normalize? HADİ BULALIM!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi yığını (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2 thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (yeşil) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) yığın yığını (?) (=) 1) #

Şimdi, sadece çılgın kısım olan radyal parçayı incelemek … Bölümlerin Dörtlü Entegrasyonunu başlatalım!

DALGA FONKSİYONUNUN RADYAL BİLEŞENİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

Bölüm 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

edelim:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4n e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Bölüm 2

edelim:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 e e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Bölüm 3

edelim:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2nci e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

4. Bölüm

edelim:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) Dr.}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))) Dr.}} #

GENLEŞME / SADELEŞTİRME

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

DEĞERLENDİRME-HAZIR FORMU

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Zr ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

İlk yarı iptal edildi olmak #0#:

# = iptal et ({- e ^ (- (Hayvanat Bahçesi) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

İkinci yarı azalır olmak 1. * (0 + 0 0 + 0 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = iptal et (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) iptal ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + iptal (4 ((a_0)) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + iptal (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + iptal (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Şimdi, dalga fonksiyonunu bir bütün olarak tekrar inceleyelim …

#psi_ (2PZ) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (iptal (32) iptal (pi)) iptal ((Z / a_0) ^ 5) (iptal (16) iptal ((a_0 / Z) ^ 5)) (iptal (2) iptal (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (mavi) (1 = 1) #

EVET! BİR EŞİT BİR YAPAR! Demek istediğim…

Dalga fonksiyonu gerçekten normalize!: D

2p dalga fonksiyonları için karşılıklı ortogonallığın kanıtlanması

Aşağıdaki dalga fonksiyonlarını seçelim:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0)

Ortogonal olduklarını göstermek için, bunlardan en az birini göstermemiz gerekir:

#int _ ("tüm alan") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Ve indüksiyondan itibaren, radyal bileşenler aynı olduğundan geri kalanları ima edebiliriz. Diğer bir deyişle:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (teta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (yeşil) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi yığını (()) (=) 0) #

Radyal kısım olduğu ortaya çıkıyor # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Öyleyse açısal bölümleri değerlendirelim.

# Teta # kısım:

#color (yeşil) (int_ (0) ^ (pi) günah ^ 2thetacosthetad teta) #

edelim:

#u = sintheta #

#du = costhetad teta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = renk (yeşil) (0) #

Ve şimdi # Phi # kısım:

#color (yeşil) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = günah (2pi) - günah (0) #

edelim:

#u = sintheta #

#du = costhetad teta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = renk (yeşil) (0) #

Bu nedenle, genel olarak:

#color (mavi) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = iptal et (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = renk (mavi) (0) #

Dan beri

#int _ ("tüm alan") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # ve # 2p_x # atomik orbitaller ortogonaldir.

Gerçekten, kullanarak ana fark # 2p_y # denklem bunun yerine:

#color (green) ("Sabitler" int_ (0) ^ (oo) "Aynı şeyler" dr int_ (0) ^ (pi) günah ^ 3 thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Ve bu yüzden:

#color (mavi) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 günah ^ 2 (2pi) - günah ^ 2 (0) = renk (mavi) (0) #

Çarpmadan #0# diğer integraller sayesinde bütün integral kaybolur ve:

#int _ ("tüm alan") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

Böylece # 2p_x # ve # 2p_y # atomik orbitaller ortogonaldir.

Sonunda, için # 2p_y # vs. # 2p_z #:

#color (green) ("Sabitler" int_ (0) ^ (oo) "Aynı şeyler" dr int_ (0) ^ (pi) günah ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Biliyoruz # Teta # öncekinden ayrılmaz:

#color (mavi) (int_ (0) ^ (pi) günah ^ 2thetacosthetad teta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = renk (mavi) (0) #

Ve böylece bütün entegral tekrar kaybolur ve aslında # 2p_y # ve # 2p_z # yörüngeler de ortogonaldir!