Cevap:
#3#
Açıklama:
let
# X = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
sadece pozitif karekök aldığımız için çözümümüzü pozitif olmak için kısıtlıyoruz. # x> = 0 #. İki tarafını da karıştırarak
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Bu kez, sol tarafın pozitif olmasını sınırlıyoruz, çünkü sadece pozitif karekökü istiyoruz, yani.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
Olasılığı ortadan kaldırdığımız yer # x <= - sqrt (7) # ilk kısıtlamamızı kullanarak.
Yine her iki tarafını da kareleriz
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=7.-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Tekrarlanan kareköklerdeki ifade, orjinal ifadesidir. # X #bu nedenle
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
veya
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Bu denklemin deneme çözümleri # X = -2 # ve #, X = + 3 # Aşağıdaki faktörleşmeyle sonuçlanan
# (X + 2), (x-3) (x ^ 2 + a-7) = 0 #
Üçüncü faktördeki ikinci dereceden formülün kullanılması # (X ^ 2 + a-7) = 0 # bize iki kök daha verir:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "ve" -3.19 #
Polinomun dört kökü bu nedenle #-3.19…, -2, 2.19…, # ve #3#. Bu değerlerden sadece bir tanesi kısıtlamamızı yerine getiriyor #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #bu nedenle
#, X = 3 #
Cevap:
Diğer yol
Açıklama:
Aşağıdaki gibi tekrarlanan karekökler sorununa bir bakışta bir çözüm bulmanın zor bir yolunu tartışmayı seviyorum
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo)
nerede # r # aşağıdaki serilere ait
#3,7,13,21,31…………#Genel terimi
# M ^ 2-m + 1 # nerede # m epsilon N # ve #m> 1 #
HİLE
1 verilen sayıdan 1 çıkarılırsa # M ^ 2-m + 1 # sonuçta ortaya çıkan sayı # M ^ 2-m # hangisi # dk (m-1) # ve iki ardışık sayının ürünü ve bu ikisinden daha büyük olandan başka bir şey değildir ve sorunun benzersiz çözümü olacaktır.
r = # M ^ 2-m + 1 # faktörü # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # ve m cevaptır
r = 3 olduğunda (3-1) = 2 = 1,2 ve 2 faktörü cevaptır.
r = 7 olduğunda, (7-1) = 6 = 2.3 ve 3 faktörü cevaptır.
ve bunun gibi…….
açıklama
alma
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + ……)) #
İki tarafın da karesi
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo)
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo)
İki tarafı da tekrar kareleriz
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo)
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
r = koymak # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
Bu denklemin LHS'sine x = m koyarsak LHS olur.
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (iptal et (m ^ 2) - iptal et (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
denklem karşılandı
Dolayısıyla m cevaptır
hadi koyalım
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #)
Bunu kolayca görebiliriz
#sqrt (7 + sqrt (7-X)) x # =
Öyleyse denklemi çözelim:
7. + SQRT (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
7.-X = (x ^ 2-7) ^ 2, x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Bu, çözülmesi gereken önemsiz bir denklem değildir. Soruyu cevaplayan diğer kişilerden biri çözüm 3'ü belirtmiştir. Eğer denerseniz, bunun doğru olduğunu göreceksiniz.
