Soru # 059f6

Cevap:

#f (x) = toplam_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Açıklama:

Bir fonksiyonun Taylor gelişimi # F # en # Bir # olduğu #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ (((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Akılda tutulması gereken bir güç serisi, bu yüzden mutlaka bir araya gelmiyor # F # hatta ondan başka bir yere yakınlaşmak # X bir # =.

İlk önce türevlerine ihtiyacımız var. # F # Taylor serisinin gerçek bir formülünü denemek istiyorsak.

Analizden ve indüksiyon kanıtından sonra şunu söyleyebiliriz: NN içindeki #Ak: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # ve #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) günah (x-1) + xcos (x-1)) #.

Yani biraz kaba ve küçük sadeleştirmeden sonra, Taylor serisine benziyor # F # olduğu #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / (((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k 1) #.