8k ^ 2 = 1 ise x = y ^ 2 ve xy = k eğrilerinin dik açılarda kestiklerini kanıtlayın.

Cevap:

#-1#

Açıklama:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

iki eğri

#x = y ^ 2 #

ve

#x = sqrt (1/8) / y veya x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

eğri için #x = y ^ 2 #, göre türev • y # olduğu # 2y #.

eğri için #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, göre türev • y # olduğu # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

İki eğrinin buluştuğu nokta # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

dan beri #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

eğrilerin buluştuğu nokta # (1/2, sqrt (1/2)) #

ne zaman #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

teğetin eğriye gradyanı #x = y ^ 2 # olduğu # 2sqrt (1/2) veya 2 / (sqrt2) #.

ne zaman #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

teğetin eğriye gradyanı #xy = sqrt (1/8) # olduğu # -2sqrt (1/8) veya -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Bir şartı arıyoruz # K öyle ki eğriler # X = y ^ 2 # ve # Xy = k # "dik açılarda kes". Matematiksel olarak bu, eğrilerin ortogonal olması gerektiği anlamına gelir, bu da sırayla teğetlerin eğrilere işaret ettiği anlamına gelir. herhangi verilen nokta diktir.

Eğriler ailesini çeşitli değerler için incelersek # K Biz alırız:

Derhal teğetin dik olduğu tek bir nokta aradığımızı ve bu nedenle genel olarak eğrilerin her noktada ortogonal olmadıklarını hemen not ediyoruz.

İlk önce bize bulalım tek koordinat, # P #eşzamanlı çözüm olan kesişme noktasının;

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Eşitlik A 'ı B' ye değiştirmek:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

Ve böylece kesişme koordinatını oluşturuyoruz:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Ayrıca bu koordinattaki teğetlerin gradyanlarına ihtiyacımız var. İlk eğri için:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Yani teğetin meyilini, # M_1 #, adresindeki ilk eğriye # P # geçerli:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Benzer şekilde, ikinci eğri için:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Yani teğetin meyilini, # M_2 #, ikinci eğrisine # P # geçerli:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Bu iki teğet dikse o zaman şunu istiyoruz:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (-1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Verilen sonuca liderlik etmek:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Ve bu değerle # K