5a + 12b ve 12a + 5b'nin dik açılı bir üçgenin yan uzunlukları ve 13a + kb ise a, b ve k'nin pozitif tamsayılar olduğu hipotenüs olmasına izin verin. K için mümkün olan en küçük değeri ve a ve b için en küçük değeri nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Açıklama:

Pisagor teoremi ile, biz var:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Yani:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (beyaz) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

Aşağıdakileri bulmak için sol tarafı iki taraftan çıkarın:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (beyaz) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Dan beri #b> 0 # ihtiyacımız var:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

O zamandan beri #a, b> 0 # ihtiyacımız var # (240-26k) # ve # (169-k ^ 2) # zıt işaretlere sahip olmak.

Ne zaman # 1, 9, 9 # her ikisi de # 240-26k # ve # 169-k ^ 2 # olumlu.

Ne zaman #, 10, 12 # öğesinde bulduk # 240-26k <0 # ve # 169-k ^ 2> 0 # gereğince, gerektiği gibi.

Yani minimum olası değeri # K olduğu #10#.

Sonra:

# -20a + 69b = 0 #

O zamandan beri #20# ve #69# ortak bir faktöre sahip değildir #1#, minimum değerler # Bir # ve # B # Hangi #69# ve #20# sırasıyla.