Eğer varsa f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x olan yerel ekstrema nedir?

Cevap:

Sadece ekstremum # X = 0,90322 … #minimum fonksiyon

Fakat oraya ulaşmak için kübik bir denklem çözmek zorundasınız ve cevap hiç de 'hoş' değil - sorunun doğru girildiğinden emin misiniz? Ayrıca tam olarak aşağıda gösterilen analiz miktarına girmeden cevaba nasıl yaklaşılacağına dair önerilerde bulundum.

Açıklama:

1. Standart yaklaşım bizi zahmetli bir yöne işaret ediyor

İlk önce türevi hesapla:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

yani (zincir ve bölüm kuralları ile)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Sonra bunu 0'a eşitleyin ve # X #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Radikallerin çözebileceği bir kübik denklemimiz var, ancak bu kolay bir süreç değil. Genel olarak bu denklemin üç kökü olacağını biliyoruz, ancak en az biri olacak olsa da hepsinin gerçek olacağını değil - en az birinin Orta Değer Teoreminden bildiğimiz - http: // tr olduğunu biliyoruz. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - bu bize fonksiyonun bir uçta sonsuzluğa, eksi diğerinde sonsuzluğa gittiği için bir noktada ya da diğer arasındaki tüm değerleri alması gerektiğini söyler.

Birkaç basit değeri denemek (1 denemek için genellikle bilgilendirici ve hızlı bir değerdir), 1/2 ile 1 arasında bir yerde bir kök olduğunu görüyoruz, ancak denklemi basitleştirmek için bariz bir çözüm bulamıyoruz. Bir kübik denklemi çözmek uzun ve sıkıcı bir süreçtir (aşağıda yapacağız), bu yüzden bunu yapmadan önce birinin sezgisini bilgilendirmeye çalışmakta fayda var. Deneme çözümleri ayrıca, bunun 0,9 ile 0,91 arasında olduğunu bulduk.

2. Basitleştirilmiş bir problem çözme

İşlev iki terim farkından oluşur, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # ve # F_2 (x) = (x-4) / x #. Aralığı için # X #Bunlardan ilki, ikinci terimin tüm değerleri için 1'e yakın olacağından, büyük ölçüde baskın olacaktır. # X # küçük değerlerden uzak. İki ayrı terimin nasıl davrandığını soralım.

İlk dönem, # F_1 #

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Bunu sıfıra ayarlayın: #, X = 3/4 #. Bu, bulduğumuz fonksiyonun sıfır bölgesinde, ancak buna çok yakın değil.

#f (1) # bir parabol # X #, dokunan bir # X # ekseni #, X = 3/4 #. Türevi, x-eksenini aynı noktadan geçen dik bir düz gradyan çizgisi 32'dir.

İkinci dönem, # F_2 #

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Bunu sıfıra eşit ayarlayın: içinde çözüm yok # X #. Yani # F_2 # kendi başına bir fonksiyon olarak ekstremaya sahip değildir. Bununla birlikte, sonsuza kadar patladığı bir noktaya sahiptir: #, X = 0 #. Negatif taraftan 0'a yaklaşırken pozitif sonsuzluğa, pozitif taraftan 0'a yaklaşırken negatif sonsuzluğa gider. Bu noktadan uzakta, eğri her iki tarafta da 1 değerine eğilim gösterir. # F_2 # merkezli bir hiperboldir # (X, y) = (0,1) #. Türevi, negatif ve pozitif olmak üzere iki parça halinde bir eğridir. # X #. Her iki yönden de pozitif sonsuzluğa gider. #, X = 0 # ve her zaman olumlu.

Bunu not et # F_1 ^ '(x) <0 # hepsi için # x <0 #. Hiçbir kavşak olamaz # F_1 ^ '# ve # F_2 ^ '# olumsuz # X # eksen. Olumlu üzerinde # X # eksenin tam olarak bir kesişim olması gerekir - bir eğri 0'dan küçükten sonsuza kadar gider # X # diğeri sonsuzluktan 0'a giderken de aynı şeyi yapar. Orta Değer Teoreminin bir uygulamasıyla (yukarıya bakın) tam olarak bir kez geçmeleri gerekir.

Şimdi sadece bir çözüm aradığımızdan eminiz, ancak bunun için iyi bir cevabımız yok.

3. Cevabı sayısal olarak yaklaşık olarak hesaplayın

Bu tür sorunların çözülmesini gerektiren profesyonel durumlarda, genellikle almanız gereken yere ulaşmanın en hızlı yolu, sayısal bir yaklaşım kullanmaktır. Bir fonksiyonun köklerini bulmak için oldukça iyi olanı Newton-Raphson metodudur (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Hangisi: Bir fonksiyonun kökünü bulmak için # F #, önce bir tahmin yap # X_0 # Bir kökte, ve sonra bu formüle göre yuvarlak ve yuvarlak yineleyin:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f (x_0)) #

# X_1 # daha iyi bir tahmin # X_0 #ve istenen hassasiyete ulaşılana kadar kişi bunu tekrar eder.

Fonksiyonumuzu ve türevini hatırlayın:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Öyleyse kökü olarak 0,5 tahmin edebiliriz. # X_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Böylece # F_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 …. #, gerçekten daha yakın bir cevap. Tekrarlama, bizi yukarıda belirtilen yaklaşık 0.9 değerine getirir.

Bu yüzden cevabı keyfi bir hassasiyetle bulabiliriz, ancak tam cevap analitik bir çözüm gerektiriyor, yukarıda belirttiğimiz gibi zor olacak. İşte başlıyoruz …

4. Tüm problemi yavaş ve acılı bir şekilde çözme

Şimdi tam kübik bir çözüm yapalım (bunu doğru şekilde çözmek için cebiri sevmeniz gerekecek):

İlk olarak, lider terim katsayısına sahip yapmak için bölünerek 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

İkincisi, değişken yerine aşağıdaki değişikliği yapın • y # kaldırmak için # X ^ 2 # terim:

Vekil #, X = y + 1/4 #. Daha genel olarak, formun bir denklemi için # Ax ^ 3 + x ^ 2 + cx + d = 0 #biri değişebilir # X = y-b / (3a) #. Cebir üzerinden çalışırsanız, bunun her zaman # X ^ 2 # ortadan kaybolmak. Bu durumda şunları elde ederiz:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Binom teoremini hatırlayarak parantezleri genişletin:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(İki fark • y ^ 2 # şartlar tamamen iptal edildi)

• y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Şimdi daha önce yaptığımız gibi aynı terimlere sahibiz, çünkü daha önce sahip olmadığımız • y # terim. Kaybetmek • y ^ 2 # Terim matematiksel bir kar, söz!

Üçüncüsü, bunu ikinci dereceye dönüştürmek için başka bir değişiklik yapın (Vieta'nın yerine geçmesi:

Vekil • y = w + 1 / (16w) #. Daha genel olarak, formun bir denklemi için • y ^ 3 + py = q #bu ikame • y w =-p / (3w) #.

• y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (W + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 () + 1 / (16 W w) = 5/32 #

# ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) w + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(İkisine de dikkat edin # # w ve 1. w / # şartlar tam olarak iptal edildi)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Şimdi, bunun yararının ne olduğunu dünyada sorabilirsiniz - derece 3 denklemimize kastettik, derece 6 denklemine gelene kadar, kesinlikle bir kayıp … Ama şimdi bunu ikinci dereceden bir denklem olarak düşünebiliriz. içinde # W ^ 3 #ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliriz …)

Dördüncü, ikinci dereceden denklemi çözmek # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 + 1/4096 = 0 # (^ 3 ağırlık)

İkinci dereceden denklemi kullanarak:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + - kısa (24/1024)) / 2 = (5/32 + - kısa (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + - kısa (24)) / 64 = (5 + - 2 (6)) / 64 #

Bir cevabımız var! Şimdi onu tekrar orijinal değişkenimizle ilişkilendirmeliyiz. # X #.

Beşinci olarak, orijinal şartlarımıza geri dönün

# w ^ 3 = (5 + -2 m2 (6)) / 64 #

Küp kökünü alın:

#w = (5 + -2srt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + - 2 (6) ^ (1/3)) / 4 #

Nasıl ilişkilendirdiğimizi hatırlayın • y # için # # w daha erken: • y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

şimdi # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- + 5 -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Sokratik eksi artı artı eksi karşıtı gibi görünmüyor, bu yüzden bu şekilde yazmalıyız)

Böylece

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

İkinci büyük terimdeki eksi işaretlerini çarptığımızda iki özdeş ifade elde ettiğimizi görebiliriz, böylece ikinci dereceden artı / eksi işaretlerini düşürebilir ve basitleştirebiliriz.

• y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Sonunda (!) Hatırladığımızı hatırlayın #, X = y + 1/4 #.

Böylece

#, X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Altıncı, bu köklerin kaç tanesinin gerçek olduğunu

Küp köklerindeki iki ifadenin her birinin bir gerçek kökü ve iki eşlenik hayali kökü vardır. Gerçek bir sayı # Bir # üç küp köküne sahiptir # Bir ^ (1/3) #, # Bir ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# Bir ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Şimdi küp köklerinin içindeki her iki ifadenin de pozitif olduğunu biliyoruz. # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), ve böylece hayali bileşenler için ikinci ve üçüncü değerler için # X # sıfıra toplanamaz.

Sonuç

Bu nedenle, sadece bir tek kök var # X # (yukarıda çok daha basit bir analizle sonuçlandırdığımız gibi) ve bu nedenle, ifade ile ilgili olarak sorduğunuz eğride sadece bir yerel uç

#, X = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

veya, ondalık

# X = 0,90322 … #

Bunun sadece bir ekstremum olduğu ve fonksiyonun her iki ucunda da pozitif sonsuzluğa eğilim gösterdiği gerçeği ile bunun fonksiyonun minimum olduğu sonucuna varabiliriz.