S birim alandan bir kare olsun. S'nin her iki tarafında bir tepe noktası olan herhangi bir dörtgen düşünün. Eğer a, b, c ve d, dört tarafın kenarlarının uzunluklarını belirtirse, 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 olduğunu kanıtlayın. <= 4?

let # ABCD # birim alanın karesi olmak.

Yani # AB = BC = CD = DA = 1 # birimi.

let # PQRS # karenin her iki tarafında bir tepe noktası olan bir dörtgen olun. İşte izin # PQ = b LO = C, RS = dandSP = bir #

Pisagor thorem uygulayarak yazabiliriz

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-a) ^ 2 w + ^ 2 + (1-Z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-il) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, w + ^ 2-X-Y-Z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, w + ^ 2-X-Y-Z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (Z-1/2) ^ 2 + (ağırlık-1/2) ^ 2) #

Şimdi sorunumuz var

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

bundan dolayı

2. <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #