HatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L ispatlamak için a) ve b) kullanın.

Orada söylediklerine göre, yapmamız gereken tek şey bunu göstermek. #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Görünüşe göre bu soruyu nereden aldıysan, tanımı hakkında karıştı # HatT_L #.

Kullanarak bunu ispatlayacağız

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

verir

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

ve değil #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Her şeyin tutarlı olmasını istiyorsak, #hatT_L = e ^ (- LhatD) #öyle olmalı # hatD, hatx = bb (-1) #. Soruyu düzelttim ve çoktan ele aldım.

Bölüm 1’den bu tanım için (#hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Dan beri #f (x_0 - L) # bir özgeçmiş # HatT_L #akla gelen en hızlı biçim üstel bir operatördür. # E ^ (LhatD) #. Biz onu seziyoruz #hatD = + ihatp_x // ℏ #ve bunun doğru olduğunu göstereceğiz.

Bölüm 1'de gösterilen ispatta şunu yazdığımızı hatırlayın:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

ve onu kullanmak zorunda kalacağımız yer burasıdır. Tek yapmamız gereken şey Taylor genişlet üstel operatör ve yukarıdaki ispatın hala geçerli olduğunu gösterir.

Bu, ayrıca burada hafif ayrıntılı olarak gösterilmektedir. Daha kapsamlı olması için genişlettim …

# e ^ (LhatD) = toplam_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Ver onu # L # bir sabittir, komütatörden bunu çarpan yapabilir. # Hatx # endekse bağlı olmayan içeri girebilir. Bu nedenle:

# hatx, e ^ (LhatD) = toplam_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Şimdi, bunu önerdik #hatD = ihatp_x // ℏ #ve bu mantıklı olur çünkü bunu biliyoruz:

# hatx, hatp_x f (x) = -ıx (df) / (dx) + ıd / (dx) (xf (x)) #

# = iptal et (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

Böylece # hatx, hatp_x = ben #. Bu demek istediğim #hatT_L = e ^ (LhatD) #Sonunda sorunun her iki tarafında da tutarlı bir tanım bulabilir ve şunu alabiliriz:

#color (mavi) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (ı) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = renk (mavi) (1) #

Bundan, komütatörü daha da genişletiyoruz:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Şimdi biliyoruz # hatx, hatp_x #, ama mutlaka # hatx, hatp_x ^ n #. Kendini ikna edebilirsin

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

ve şu

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

Böylece:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ nd ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {iptal (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - iptal (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = i (n (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Bunu tanıdık # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Böylece,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, sağlanan #n> = 1 #.

Bundan şunu buluyoruz:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n ı nhatp_x ^ (n-1)} #

nerede değerlendirirseniz #n = 0 # terimi sıfıra gittiğini görmelisiniz, bu yüzden ihmal ettik. Devam ederek, biz var:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏs_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1)) #

Burada basitçe bunun tekrar üstel fonksiyon gibi görünmesini sağlamaya çalışıyoruz.

# = iℏ ((iL) / ℏ) toplamı_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(grup terimleri)

# = -L toplam_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(dışını değerlendirin)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(Eğer # N # sıfırdan başlar # (N-1) #Th terimi # N #3. dönem.)

Sonuç olarak, sonunda:

# => renk (mavi) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = renk (mavi) (- LhatT_L) #

Ve yine orijinal komütatöre geri dönüyoruzyani

# hatx, hatT_L = -LhatT_L renk (mavi) (sqrt "") #

Son olarak, hadi gösterelim ki # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Bunu açıkça yazdıktan sonra çalışmasını görebiliriz:

# = renk (mavi) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = (((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = (((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = renk (mavi) (toplam_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

dan beri # HatD # her zaman kendisiyle konuşur, # hatD ^ n, hatD = 0 # ve bu nedenle,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (mavi) (sqrt "") #