A Çemberinin (6, 5) merkezinde ve 6 pi'lik bir alanı vardır. B Çemberinin (12, 7) merkezinde ve 48 pi'lik bir alanı vardır. Daireler örtüşüyor mu?

Cevap:

Dan beri

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 dört # ve

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

kare kenarlar 48, 6 ve 40 ile gerçek bir üçgen yapabiliriz, bu yüzden bu daireler kesişir.

Açıklama:

Neden bedava # Pi #?

Alan #A = pi r ^ 2 # yani # R ^ 2 = A / pi. # Yani ilk dairenin bir yarıçapı var # R_1 = {6} # karekök ve ikinci # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Merkezler #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # arayla.

Böylece daireler üst üste #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ve 2 sqrt {10} #.

Bu kadar çirkin, hesap makinesine ulaştığın için affedilirsin. Ama bu gerçekten gerekli değil. Yoldan gidelim ve bunun Rational Trigonometry kullanılarak nasıl yapıldığına bakalım. Biz sadece denilen kare uzunlukları ile ilgileniyoruz quadrances.

Diyelim ki üç çeyreklik olup olmadığını test etmek istiyoruz. #ABC# üç ortak nokta arasındaki kadranlar, yani #sqrt {A} sqrt {B} + sqrt {C} # = veya #sqrt {B} sqrt {A} + sqrt {C} = # veya #sqrt {C} sqrt {A} + sqrt {B} # =. Olarak yazacağız

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Gönyeleme, #C = A + B pm 2 m² {AB} #

#C - A-B = öğleden sonra 2 sqrt {AB} #

Tekrar kareler, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Çıkıyor

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

bir diskriminant Üçgenler için. Biz sadece gösterdi #mathcal {A} = 0 # bu demek oluyor ki yozlaşmış üçgen üç ortak noktadan oluşmuştur. Eğer #mathcal {A}> 0 # o zaman bir gerçek üçgen her iki taraf da diğer ikisinin toplamından daha az. Eğer #mathcal {A} <0 # Üçgensel eşitsizliği sağlayan taraflarımız yok ve bazen buna bir hayali üçgen.

Yeni üçgen ayrımcımızla silahlı sorumuza dönelim. #mathcal {A} #. Eğer daireler kesişirse, iki merkezden bir üçgen ve bir kavşak oluşturabiliriz, böylece kenarların uzunlukları olur. # R_1 #, # R_2 #ve merkezler arasındaki mesafe #(6,5)# ve #(12,7)#. Sahibiz

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # bu yüzden gerçek bir üçgene sahibiz, yani üst üste binen daireler.

Oh evet, herhangi bir üçgen için #mathcal {A} = 16 (metin {alan}) ^ 2. #

Kontrol edin: alfa

A Çemberinin (12, 9) bir merkezi ve 25 pi'lik bir alanı vardır. B Çemberinin (3, 1) bir merkezi ve 64 pi'lik bir alanı vardır. Daireler örtüşüyor mu?

Evet Önce iki dairenin merkezleri arasındaki mesafeyi bulmalıyız. Bunun nedeni, bu mesafenin dairelerin birbirine en yakın olacağı yer olmasıdır, bu nedenle üst üste binerlerse bu çizgi boyunca olacaktır. Bu mesafeyi bulmak için mesafe formülünü kullanabiliriz: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Şimdi her dairenin yarıçapını bulmalıyız. Bir dairenin alanının pir ^ 2 olduğunu biliyoruz, bu yüzden r'yi çözmek için bunu kullanabiliriz. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 p

A Çemberinin (1, 5) bir merkezi ve 24 pi'lik bir alanı vardır. B Çemberinin (8, 4) merkezinde ve 66 pi'lik bir alanı vardır. Daireler örtüşüyor mu?

Evet, daireler çakışıyor. A dairesi merkezinden B dairesi merkezine uzaklık B = 5sqrt2 = 7.071 Yarıçaplarının toplamı = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Tanrı korusun .... Umarım açıklama faydalı olur ..

A Çemberinin (5, 8) merkezinde ve 18 pi'lik bir alanı vardır. B Çemberinin (3, 1) bir merkezi ve 27 pi'lik bir alanı vardır. Daireler örtüşüyor mu?

Daireler merkezden merkeze kadar olan mesafeyle örtüşüyor d = sqrt ((x_a-x_b) ^ 2 + (y_a-y_b) ^ 2) d = sqrt ((5-3) ^ 2 + (8-1) ^ 2) d = sqrt (4 + 49) d = sqrt53 = 7.28011 A ve B dairelerinin yarıçaplarının toplamı Toplam = sqrt18 + sqrt27 Toplam = 9.43879 yarıçapların toplamı> merkezler arasındaki uzaklık: çevreler üst üste binerler Tanrı korusun .... Umarım açıklama yararlıdır.