G, siklik gruptur ve G = 48. G alt grubunun tamamını nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Alt grupların hepsi döngüseldir, siparişler bölünür #48#

Açıklama:

Döngüsel bir grubun tüm alt grupları, grup düzeninin düzenleyicileri olan emirlerle kendileri döngüseldir.

Nedenini görmek için varsayalım # G = <a> # sırayla döngüsel # K # ve #H alt G # bir alt gruptur.

Eğer # a ^ m H # içinde ve # a ^ n, H # içindeöyleyse # Bir ^ (pm + qn) # herhangi bir tamsayı için #p, q #.

Yani # a ^ k, H # içinde nerede #k = GCF (m, n) # ve ikisi # Bir ^ m # ve # Bir ^ n # içeride # <a ^ k> #.

Özellikle, eğer # a ^ k, H # içinde ile #GCF (k, N) = 1 # sonra #H = <a> = G #.

Ayrıca öyle değilse #mn = N # sonra # <a ^ m> # bir alt gruptur # G # sipariş ile # N #.

Aşağıdakileri yapabiliriz:

• # H # fazla olan #1# jeneratör.
• Sırası # H # bir faktördür # K #.

Örneğimizde #N = 48 # ve alt gruplar izomorfiktir:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

olmak:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #