Bunu riemann integrali kullanarak çözme?

Cevap:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # veya # yaklaşık 1.302054638 … #

Açıklama:

Sonsuz ürünle her türlü problemi çözmek için en önemli kimlik, onu sonsuz toplamlar problemine dönüştürmektir:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

EMPHASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ancak, bunu yapmadan önce, önce denklemdeki # frac {1} {n ^ 2} # b ile uğraşmalıyız ve btw de sonsuz ürün L denir:

# L = lim_ {n - + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n - + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n - + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n - + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Şimdi bunu sonsuz bir toplama dönüştürebiliriz:

# L = lim_ {n - + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n - + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

logaritma özelliklerini uygular:

# L = lim_ {n - + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frak {1} {n} * ln (1+ frak {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Ve limit özelliklerini kullanarak:

# L = exp lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} kırık {1} {n} * ln (1+ kırık {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sonsuz toplam S diyelim:

# S = lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Ve aklınızda bulundurun

# L = exp (S) #

Şimdi sorunuzu bir kaynaktan dönüştürerek çözelim. RIEMANN TOPLAMI bir KESİN İNTEGRAL:

Riemann toplamının tanımını hatırlayın:

EMPHASIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

let

# lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frak {ba} {n})) * frak {ba} {n} = lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Şimdi izin ver # f (x) = ln (1 + x ^ 2) ve a = 0 #

# f (k (frak {b} {n})) = ln (1+ frak {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Böylece, b = 1 yani

# f (frak {k} {n}) = ln (1+ frak {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Bu nedenle,

# S = lim_ {n - + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

İçin çözün # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

parçaları bütünleştirmeyi kullanın:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

let # u = ln (1 + x ^ 2) ve v = 1 #

Ardından, zincir kuralı ve doğal logaritma türevini elde etmek # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

ve almak için güç kuralını kullanın: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frak {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Çıkarma kuralını kullan:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Birinci integral için güç kuralını kullanın ve ikinci integral standart trigonometrik fonksiyondur. # arctan (x) # (teğet fonksiyonunun tersi)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Böylece, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arktan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Şimdi kesin integrali çözelim:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

anti-türev olduğunu biliyoruz # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 artan (x) + C #, Böylece

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arktan (1) - 0 + 0 - arktan (0) #

arktan (1) 45 ° veya # frac { pi} {4} # (yan uzunlukları 1,1 olan özel dik üçgeni geri çağırmak, # Sqrt {2} # ve açıları 45 °, 45 °, 90 °) ve ayrıca # arctan (0) = 0 #

Böylece #S = ln (2) - 2 + 2 (frak { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frak { pi} {2} #

veya # yaklaşık 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frak { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frak {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = kırılma {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Bu nedenle çözüm # lim_ {n - + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frak {2 sqrt {e ^ pi}}} {e ^ 2} # veya # yaklaşık 1.302054638 … #