Kesikli bir rasgele değişkenin varyansını hesaplamak için matematiksel formül nedir?

Cevap:

let #mu_ {X} = E X = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} * p_ {i} # ayrık rastgele değişkenin ortalaması (beklenen değer) # X # bu değerleri alabilir #x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, … # olasılıkları olan #P (X = x_ {I}) = p_ {I} # (bu listeler sonlu ya da sonsuz olabilir ve toplam sonlu ya da sonsuz olabilir). Varyans #sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = sum_ {i = 1} ^ {infty} (x_ {i} -mu_ {X}) ^ 2 * p_ { ben}#

Açıklama:

Önceki paragraf, varyansın tanımıdır. #sigma_ {X} ^ {2} #. Beklenen değer operatörünün doğrusallığını kullanarak aşağıdaki cebir biti # E #, bunun için kullanımı genellikle daha kolay olan alternatif bir formülü gösterir.

#sigma_ {X} ^ {2} = E (X-mu_ {X}) ^ 2 = E X ^ 2-2mu_ {X} X + mu_ {X} ^ {2} #

# = E X ^ 2 -2mu_ {X} E X + mu_ {X} ^ {2} = E X ^ 2 -2mu_ {X} ^ {2} + mu_ {X} ^ {2 } #

# = E X ^ 2 -mu_ {X} ^ {2} = E X ^ {2} - (E X) ^ 2 #,

nerede #E X ^ {2} = sum_ {i = 1} ^ {infty} x_ {i} ^ {2} * p_ {i} #