Entegrasyon kullanarak bu nasıl cevaplanır?

Cevap:

Alan # = (32/3) u ^ 2 # ve hacim # = (512 / 15pi) u ^ 3 #

Açıklama:

X ekseni ile kesmeyi bularak başlayın

• y = 4x-x ^ 2 = X (4x) = 0 #

Bu nedenle, #, X = 0 # ve #, X = 4 #

Alan

# DA = YDX #

# A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx #

# = 2x ^ 2-1 / 3x ^ 3 _0 ^ 4 #

#=32-64/3-0#

# = 32 / 3u ^ 2 #

Hacim

# DV = PİY ^ 2DX #

# V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2DX #

# = Piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx #

# = Pi 16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5 _0 ^ 4 #

# = Pi (/ 5-0 1024 1024 / 3-512) #

# = Pi (/ 15 + 3072 5120 / 15-7680 / 15) #

# = Pi (512/15) #

Cevap:

a. #32/3#

b. # (512pi) / 15 #

Açıklama:

İlk önce grafiğin geçtiği noktaları bulmamız gerekir. # X #-Axis.

# 4 x-x ^ 2 = X (4x) = 0 #

ya #, X = 0 # veya 4.-x = 0 #

# x = 0 veya 4 #

Şimdi üst ve alt sınırlarımızı biliyoruz.

a. # "Grafiğin altındaki alan" = int_b ^ af (x) dx #

# int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 = (2 (4) ^ 2-4 ^ 3/3) - (2 (0) ^ 2-0 ^ 3/3) 32/3 # =

b. # "Dönme hacmi" = piint_b ^ a (f (x)) ^ 2dx #

#f (x) ^ 2 = (4x-x ^ 2) ^ 2, 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4 #

# piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi (16x ^ 3) / 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi ((16 (4) ^ 3) / 3-2 (4) ^ 4 + 4 ^ 5/5) - ((16 (0) ^ 3) / 3-2 (0) ^ 4 + 0 ^ 5/5) = pi 512/15 = (512pi) / 15 #