Bir paralelkenarın köşelerini köşelerle nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Paralelkenar için # ABCD # alan

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-y_A) | #

Açıklama:

Paralelkenarımız olduğunu varsayalım. # ABCD # dört köşesinin koordinatları ile tanımlanır - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Paralelkenarın alanını belirlemek için tabanının uzunluğuna ihtiyacımız var. # | AB | # ve irtifa # | DH | # tepe noktasından # D # işaret etmek # H # tarafında # AB # (yani, #DH_ | _AB #).

Her şeyden önce, görevi basitleştirmek için, en azından tepe noktası konumuna getirelim. # A # koordinatların kökeni ile çakışmaktadır. Alan aynı olacak, ancak hesaplamalar daha kolay olacak.

Böylece aşağıdaki koordinat dönüşümünü gerçekleştireceğiz:

# U = X-x_A #

# V = y-y_A #

Sonra (# U, V #tüm köşelerin koordinatları şöyle olacaktır:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Paralelkenarımız şimdi iki vektör ile tanımlanmıştır:

# P = (U_B, V_B) # ve # Q = (U_D, V_D) #

Bazın uzunluğunu belirleyin # AB # vektörün uzunluğu # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

İrtifa uzunluğu # | DH | # olarak ifade edilebilir # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Uzunluk # AD # vektörün uzunluğu # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Açı #/_KÖTÜ# Vektörlerin skaler (nokta) çarpımı için iki ifade kullanılarak belirlenebilir. # P # ve # Q #:

# (S * k) = U_B * U_D + V_B * V_D = | P | * | q | * cos (/ _ kötü) #

olan

# Cos ^ 2 (/ _ kötü) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAB) = 1 Cos ^ 2 (/ _ BAB) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Şimdi alanı hesaplamak için tüm bileşenleri biliyoruz:

baz # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

rakım # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Alan onların ürünüdür:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Orijinal koordinatlar açısından, şuna benzer:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-y_A) | #

Cevap:

başka bir tartışma

Açıklama:

Geometrik kanıtı

Rakam göz önüne alındığında

Herhangi bir üç köşenin (diyelim ki A, B, D) bilinen bir ABCD paralelogramı alanının hesaplanması için formülü kolayca kurabiliriz.

Köşegen BD, paralelkenarın iki uygun üçgene ikiye bölünmesinden beri.

Paralelkenar ABCD'nin alanı

= 2 ABD üçgen alanı

= 2 BAPQ trapez alanı + BQRD tuzak alanı - DAPR tuzak alanı

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR 1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + iptal (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + iptal (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-iptal (Y_DX_D) + iptal (Y_A_X_D-iptal)

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Bu formül paralelkenarın alanını verecektir.

Vektör dikkate alınarak kanıt

Dikkate alınarak da kurulabilir #vec (AB) # ve# vec (AD) #

şimdi

A noktasındaki pozisyon vektörü w.r, t Orijini, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

B noktasının konum vektörü w.r, t Orijini, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

D noktasındaki pozisyon vektörü w.r, t Orijini, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

şimdi

Paralelkenar ABCD Alanı

# = Taban (AD) * Yükseklik (BE) = AD * s #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Tekrar

#vec (AD) = vec (OD), -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Alan = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + iptal (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-iptal (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Böylece aynı formüle sahibiz