İnt (dt) / (t-4) ^ 2 integralini 1 ile 5 arasında nasıl değerlendiriyorsunuz?

Cevap:

Vekil # X = t-4 #

Cevabı, eğer gerçekten sadece integrali bulmanız istenirse:

#-4/3#

Alanı arıyorsanız, o kadar basit değil.

Açıklama:

# İnt_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

Set:

# T-4 x = #

Bu nedenle diferansiyel:

# (D (T-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

Ve sınırlar:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Şimdi bulunan bu üç değeri değiştirin:

# İnt_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

#int = (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) - (- 3) ^ 1 # _ x ^ (2 + 1)

# - x ^ -1 = (- 3) ^ 1 #

# - 1 / X = (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOT: ALANIN NASIL BULUNMASI GEREKEN BİR ŞEKİLDE OLMADIĞINIZ BU OKUYUNUZ. Bu aslında iki sınır arasındaki alanı temsil etmeli ve daima pozitif olduğundan, pozitif olmalıydı. Ancak, bu işlev sürekli değil en #, X = 4 # yani bu integral, alanı istediğiniz şekilde temsil etmez, eğer istediğiniz buysa. Biraz daha karmaşık.

Cevap:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Açıklama:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = du #

# int_1 ^ 5 (du) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Cevap:

Ne kadar entegrasyon öğrendiğinize bağlı olarak, "en iyi" cevap ya olacaktır: "integral tanımlanmadı" (henüz) veya "ayrılmaz ayrılıklar"

Açıklama:

Değerlendirmeye çalıştığımız zaman # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #İntegral'in, entegre olduğumuz aralıkta tanımlandığını kontrol etmeliyiz.

# 1 / (x-4) ^ 2 # tanımlı değil #4#, İşte bu değil tüm aralıkta tanımlanmış #1,5#.

Analiz çalışmalarının başında, integrali ile başlayarak tanımlarız.

"Let # F # aralıklarla tanımlamak # A, b #… '

Bu yüzden çalışmamızın başında, en iyi cevap

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# Tanımlanmadı (Henüz?)

Daha sonra tanımı genişleteceğiz "uygunsuz integral" olarak adlandırılan şeye

Bunlar sınırsız aralıklarla integralleri içerir (# (- oo-b #, # A, oo) # ve # (- oo, oo) #) ve ayrıca integrandün tanımlanmadığı noktalara sahip olduğu aralıklar.

Değerlendirmek (denemek) # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #İki uygunsuz integrali değerlendiriyoruz # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(İntegralin hala bunlarda tanımlanmadığını unutmayın. kapalı aralıkları.)

Yöntem, integrand'in bir değişken tarafından tanımlanmadığı noktayı değiştirmek, ardından bu değişken sayıya yaklaştığında bir limit almaktır.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Önce integrali bulalım:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b4)) - (-1 / (-3)) #

# = -1 / (b4) -1 / 3 #

Sınırı olarak arıyorsunuz # Brarr4 ^ - #, sınırın olmadığını görüyoruz. (Gibi # Brarr4 ^ - #, değeri # -1 / (b-4) # bağlı olmadan artar.)

Bu nedenle integral bitti #1,4# var olmaz yani entegral biter #1,5# mevcut değil.

İntegralin farklılaştığını söylüyoruz.

Not

Bazıları şöyle der: tanım İntegralin tanımını yerine getiren herhangi bir sayı yoktur.