Denklemi, döndürülmüş bir x'y'-sistemi içinde, bir x'y 'terimi olmadan yeniden yazın. Biraz yardım alabilir miyim? Teşekkürler!

Cevap:

İkinci seçim:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Açıklama:

Verilen denklem

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

konik bir bölüm için genel Kartezyen formunda:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

nerede # A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 ve F = -144 #

Eksen Dönme referansı bize konik bir bölümü belirtilen açıda döndürmemizi sağlayan denklemler verir. # Teta #. Ayrıca, bize katsayılarını zorlamamıza izin veren bir denklem verir. # Xy # 0 olmak için.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

1 denklemindeki değerleri değiştirmek:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

basitleştirin:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Yeni rotasyonun katsayısına neden olduğunu doğrulamak için denklemi (9.4.4b) kullanın. # Xy # 0 olması gereken terim:

#B '= (A-C) günah (2theta) + B cos (2theta) #

# B '= (31-21) günah (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # doğrulanmadı.

Hesaplamak için denklemi (9.4.4a) kullanın # A '#:

# A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 günah (2theta) #

# A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 günah (2 (-pi / 6)) #

# A '= 36 #

Hesaplamak için denklemi (9.4.4c) kullanın # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 günah (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 günah (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Hesaplamak için Denklem (9.4.4f) kullanın # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Şimdi, değişmemiş formu yazabiliriz:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Her iki tarafı da 144'e bölün:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Her iki tarafa da 1 ekleyin:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Cevap:

Seçenek b

Açıklama:

Denklemi matris biçiminde yazabilir ve sonra ana eksenine çevirebiliriz.

edelim:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

# a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 # basitleştirir #

Ve böylece matris şeklinde:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad kare #

Eksenleri döndürmek için # BBX # tarafından # Teta #:

#bb x ^ '= R (teta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Aktarılması #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #R ortogonal olduğu için

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Bu son 2 sonucu koymak #kare#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

Eğer eğer R, köşegenleştirilen matris M diagonal özvektör matrisi için ana eksenleri açısından denklemimiz var. D, yani:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M özdeğerleri 36 ve 16'dır, bu nedenle aşağıdaki gibi köşegenleştirilebilir:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #