Soru # 53a2b + Örnek

Cevap:

Bu uzaklık tanımı eylemsizlik çerçevesinin değişmesi altında değişmezdir ve bu nedenle fiziksel bir anlamı vardır.

Açıklama:

Minkowski uzayı, parametre koordinatlarını içeren 4 boyutlu bir boşluk olarak oluşturulmuştur. # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, genellikle dediğimiz yerde # X_0 = ct #. Özel göreliliğin özünde, eylemsiz bir çerçeveden diğerine ışık değişimini bırakan dönüşümler olan Lorentz dönüşümlerine sahibiz. Lorentz dönüşümlerinin tam türevine girmeyeceğim, bunu açıklamamı istersen, sadece sor ve daha fazla ayrıntıya gireceğim.

Önemli olan aşağıdaki. Öklidiyen uzayına baktığımızda (alışılmış uzunluk tanımına sahip olduğumuz alan) # Ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #) bazı dönüşümlerimiz var; mekansal rotasyonlar, çeviriler ve yansımalar. Bu dönüşümlerle birbirine bağlı çeşitli referans çerçevelerinde iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplarsak, mesafeyi aynı buluruz. Bu, Euclidian mesafesinin bu dönüşümler altında değişmez olduğu anlamına gelir.

Şimdi bu kavramı 4 boyutlu uzay-zamana genişletiyoruz. Einsteins'in özel görelilik teorisinden önce, eylemsizlik çerçevelerini, uzamsal bir koordinatın yerini alan Galilei dönüşümleriyle birleştirdik. # X_i # tarafından # X_i-v_it # için #iin {1,2,3} # nerede # V_i # içindeki gözlemcinin hızıdır. #ben# orijinal kareye göre yön. Bu dönüşüm ışığın hızını değişmez bırakmadı, ama çizgi elemanı tarafından indüklenen mesafeyi bıraktı. # Ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #sadece zaman koordinatında bir değişiklik olmadığı için zaman mutlaktır.

Bununla birlikte, Galilei dönüşümü bir atalet çerçevesinin diğerine dönüşümünü tam olarak tanımlamaz, çünkü ışığın hızının uygun bir koordinat dönüşümleri altında değişmez olduğunu biliyoruz. Bu nedenle Lorentz dönüşümünü başlattık. Yukarıda yapıldığı gibi 4-dim uzay-zamanına kadar uzamış Euclidian mesafesi bu Lorentz dönüşümünde değişmez, ancak, # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # buna uygun mesafeyi diyoruz. Dolayısıyla, Pisagor teoreminin tuttuğu bu Öklid mesafesinin 4 loş uzay üzerinde mükemmel bir matematiksel yapı olmasına rağmen, gözlemciye bağlı olduğu için fiziksel bir anlamı yoktur.

Uygun mesafe gözlemciye bağlı değildir, bu nedenle fiziksel bir anlam verebiliriz; bu, bir dünya çizgisinin yayını Minkowski uzayından bu mesafeyi, bu dünya çizgisi boyunca seyahat eden bir nesnenin gözlemlediği zamana göre kullanarak bağlayarak gerçekleştirilir. Zamanın sabit kalması durumunda Pisagor teoreminin hala uzamsal koordinatlarda kaldığına dikkat edin.

EDIT / EK AÇIKLAMA:

Bu sorunun asıl sorumlusu benden biraz daha fazla detaylandırmamı istedi: "Teşekkürler. Ama son iki paragrafı biraz daha açıklayabilir misiniz? # S ^ 2 = x ^ 2- (cı) ^ 2 #. Lütfen "Burada sahip olduğumuz şey yukarıda açıkladığımın iki boyutlu bir versiyonudur. Bir zaman ve bir uzay boyutu olan bir uzay-zaman tanımımız var. Bu konuda bir uzaklık veya daha kesin bir şekilde bir norm (bir uzaklıktan uzaklık) tanımlarız. bir noktaya orijini) # s # formülü kullanarak # S ^ 2 = x ^ 2- (cı) ^ 2 # nerede # X # mekansal koordinattır ve # T # zamansal koordinat.

Yukarıda yaptığım, bunun üç boyutlu bir versiyonuydu, ama daha önemlisi kullandım # (De) ^ 2 # yerine # S ^ 2 # (Karenin ne olduğunu netleştirmek için parantez ekledim). Diferansiyel geometri ayrıntılarına fazla girmeden, uzayda iki noktayı birleştiren bir çizgimiz varsa, # Ds # Satır öğesi olarak adlandırılan satırın minik bir parçasının uzunluğu. Yukarıda yazdıklarımın 2D versiyonu aracılığıyla, # Ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #Bu, bu küçük parçanın uzunluğunu koordinatlardaki minik değişimle ilişkilendirir. Başlangıç noktasından bir noktaya kadar olan mesafeyi hesaplamak için # X_0 = a, x_1 = # b boşlukta, o noktadan o noktaya kadar giden düz bir çizginin uzunluğunu hesaplıyoruz, bu çizgiye # X_0 = a / bx_1 # nerede # X_1in 0, b #, biz notu # Dx_0 = a / bdx_1 #, yani # Ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, yani # Ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #entegre edebildiğimiz, veren # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

bu nedenle # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (cı) ^ 2 # içinde # (T, x) # koordine eder.

Gerçekten de yukarıda yazdıklarım kitapta okuduğunuz şeyi veriyor. Ancak, satır öğesi sürümü, yalnızca düz çizgileri değil, herhangi bir çizginin uzunluğunu hesaplamanıza olanak tanır. Lorentz dönüşümü ile ilgili hikaye hala devam ediyor, bu norm # s # referans çerçevesi değişikliği altında değişmez # X, ^ 2 + (cı) ^ 2 # değil.

Pisagor teoreminin beklememesi, şaşırtıcı değil. Pisagor teoremi Öklid geometrisinde bulunur. Bu, çalıştığınız alanın düz olduğu anlamına gelir. Düz olmayan alanlara bir örnek, kürenin yüzeyidir. Bu yüzeydeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak istediğinizde, bu iki noktayı birbirine bağlayan en kısa yolun uzunluğunu alırsınız. Eğer bu yüzeyde, Euclid uzayındaki bir üçgenden çok farklı görünen bir dik üçgen inşa ederseniz, çizgiler düz olamayacağından Pythagoras teoremi genel olarak geçerli olmaz.

Öklid geometrisinin bir diğer önemli özelliği, bu alana bir koordinat sistemi koyduğunuzda, her koordinatın aynı rolü üstlenmesidir. Eksenleri döndürebilir ve aynı geometri ile bitebilirsiniz. Minkowski geometrisinde yukarıdaki tüm koordinatlar aynı role sahip değildir, çünkü zaman eksenleri denklemlerde eksi işaretine sahiptir ve diğerleri yoktur. Bu eksi işareti orada olmasaydı, zaman ve mekanın uzay-zaman diliminde veya en azından geometride benzer bir rolü olurdu. Ancak uzay ve zamanın aynı olmadığını biliyoruz.