F (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) alanı ve aralığı nedir?

Cevap:

Domain: bütün gerçek çizgi

aralık: #-0.0757,0.826#

Açıklama:

Bu soru iki yoldan biriyle yorumlanabilir. Ya biz sadece gerçek çizgi ile uğraşmayı umuyoruz # RR #veya karmaşık düzlemin geri kalanıyla da # CC #. Kullanımı # X # Bir değişken olarak sadece gerçek çizgi ile uğraştığımızın ima ettiği gibi, ancak iki vaka arasında not edeceğim ilginç bir fark var.

Etki alanı # F # - Sayısal kümenin tamamı, işlevin sonsuza kadar uçmasına neden olan herhangi bir noktanın eksi olduğu kabul edilir. Bu payda olduğunda olur # X, ^ 2 + 4 = 0 #yani, ne zaman # X, ^ 2 = -4 #. Bu denklemin gerçek bir çözümü yok, yani eğer gerçek hat üzerinde çalışıyorsak, etki alanı tüm aralıktır. # (- oo, + oo) #. Öncü terimleri payda ve paydada karşılaştırarak işlevin sonsuz sınırlarını göz önünde bulundurursak, her iki sonsuzlukta da sıfıra eğilimli olduğunu görürüz ve bunu kapatmak için bu aralığı eklemek istersek yapabiliriz: # - oo + oo #.

Denklem # X, ^ 2 = -4 # bununla birlikte iki karmaşık çözümü var, # x = + - 2i #. Kompleks düzlemin tamamını göz önüne alırsak, etki alanı, bu iki noktanın eksi bütün düzlemdir: # CC # # {+ - 2i} #. Gerçeklerde olduğu gibi, istersek de sonsuzluğu ekleyebiliriz.

Aralığını belirlemek # F # etki alanı üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini keşfetmemiz gerekir. Şimdi sadece gerçekler hakkında konuşacağız, çünkü karmaşık düzlem üzerinde bunlara bir analog belirlemek genel olarak farklı matematiksel araçlar gerektiren farklı bir problemdir.

Birinci türevi bölüm kuralı üzerinden al:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) 2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

İşlev # F # Ne zaman bir ekstremum veya bükülme noktasına ulaşır #f '(x) = 0 #yani, ne zaman # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Bunu ikinci dereceden formülle çözüyoruz:

#, X = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Böylece işlevin iki noktası vardır.

Bu noktaları, türevlerinin ikinci türevindeki değerlerini inceleyerek karakterize ediyoruz. # F #katsayı kuralı üzerinden tekrar aldığımız:

#f '(x) = ((- 2 x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

İlk türev kök hesaplamamızdan, bu iki nokta için paydaki ikinci terimin sıfır olduğunu biliyoruz, çünkü sıfıra ayarlamak, sadece giriş sayılarını bulmak için çözdüğümüz denklemdir.

Yani, bunu belirterek # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2, 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '(- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) + 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) ^ 3 #

# = (Çubuk (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Bu ifadenin işaretini belirlerken, sorup sormadığımızı sorarız. 26.> 6sqrt (13) #. Karşılaştırma yapmak için her iki tarafı da kareleştir #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Yani # 26-6sqrt (13) # olumlu (ve 26. + 6sqrt (13) # daha da öylesine).

Böylece tüm ifadenin işareti #bar (+) # önünde, bu demek oluyor ki #, X = 3-sqrt (13) # vardır #f '' (x)> 0 # (ve bu nedenle asgari bir işlevdir) ve #, X = -3 + sqrt (13) # vardır #f '(x) <0 # (ve bu nedenle maksimum fonksiyondur). Fonksiyonun sonsuzlukta sıfıra meyilli olduğunu not ettik, şimdi fonksiyonun şeklini tam olarak anlıyoruz.

Şimdi menzili elde etmek için, fonksiyonun değerlerini minimum ve maksimum noktalarda hesaplamalıyız. #, X = -3 + -sqrt (13) #

Hatırlamak #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, ve bu yüzden

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) + 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Yani, gerçek çizgi üzerinden # RR # işlev #f (x) # aralıktaki değerleri alır # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #sayısal olarak değerlendirirsek gelir #-0.0757,0.826#, elde edilen üç önemli rakama # X # değerler #-6.61# ve #0.606# (3 s.f.)

Fonksiyon grafiğini bir akıl sağlığı kontrolü olarak çizin:

grafik {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Cevap:

Alan: #R, RR'de #

aralık: #f (x) -0.075693909, + 0.825693909 renk (beyaz) ("xxx") # (yaklaşık olarak)

Açıklama:

verilmiş

#color (beyaz) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

domain

domain tüm değerleri # X # hangisi için #f (x) # tanımlanmış.

Bir polinom tarafından bölünmüş bir polinom olarak ifade edilen herhangi bir fonksiyon için, fonksiyonun tüm değerleri için tanımlanır. # X # bölen polinomunun sıfıra eşit olmadığı durumlarda. Dan beri # X, ^ 2> = 0 # tüm değerleri için # X #, # X, ^ 2 + 4> 0 # tüm değerleri için # X #; yani # katı! = 0 # tüm değerleri için # X #; işlev tüm Gerçekler için tanımlanır (# RR #) değerleri # X #.

menzil

menzil gelişmesi biraz daha ilginç.

Sürekli bir fonksiyonun limitleri varsa, fonksiyonun bu limitlerle sonuçlanan noktalardaki türevinin sıfıra eşit olduğunu not ederiz.

Bu adımların bazıları önemsiz olsa da, bu süreç boyunca türevlerin oldukça temel ilkelerinden yararlanacağız.

1 Türevler İçin Üstel Kural

Eğer #f (x) = x ^ n # sonra # (df (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Türevlerin Toplam Kuralı

Eğer #f (x) = R (x) + s (x) # sonra # (df (x)) / (dx) = (dr (x)) / (dx) + (ds (x)) / (dx) #

3 Türev Ürün Kuralı

Eğer #f (x) = g (x) * s (x) # sonra # (df (x)) / (dx) = (dg (x)) / (dx) * s (x) + g (x) * (ds (x)) / (dx) #

4 Türevler İçin Zincir Kuralı

Eğer #f (x) p (q, (x)) # = sonra # (df (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (dq (x)) * (dq (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Verilen işlev için #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

bunun olarak yazılabileceğini not ediyoruz. #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

3 tarafından biliyoruz

#color (white) ("XXX") renk (kırmızı) ((df (x)) / (dx)) = renk (kireç) ((d (x + 3)) / (dx)) * renk (mavi) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + renk (mavi) ((x + 3)) * renk (macenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

1 tarafından biz

#color (beyaz) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

ve 2 tarafından

#color (beyaz) ("XXX") renkli (kireç) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = renk (kireç) (1) #

4 tarafından biz

#color (white) ("XXX") renk (macenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

ve 1 ve 2 tarafından

#color (white) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

veya basitleştirilmiş:

#color (beyaz) ("XXXXXXXX") = rengi (kırmızı) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

bize ver

#color (white) ("XXX") renk (kırmızı) ((df (x)) / (dx)) = renk (yeşil) 1 * renk (mavi) ((x + 4) ^ (- 1)) + renk (mavi) ((x + 3)) * renk (macenta) ((- - 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

olarak basitleştirilebilir

#renk (beyaz) ("XXX") renk (kırmızı) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Belirtildiği gibi (geri dönüş) bu, sınır değerlerin ne zaman ortaya çıkacağı anlamına gelir.

#color (beyaz) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (beyaz) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

daha sonra ikinci dereceden formülü kullanarak (şuna bakın, Socratic zaten bu cevabın uzunluğundan şikayet ediyor)

ne zaman

#color (beyaz) ("XXX"), x = -3 + -sqrt (13) #

Acıyı uzatmak yerine, limitleri almak için bu değerleri hesaplayıcımıza (veya elektronik tablomuza ekleyeceğiz):

#color (beyaz) ("XXX") f (3-sqrt (13)) ~~ -,075693909 #

ve

#color (beyaz) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~,825693909 #

Cevap:

Aralığı bulmanın daha basit bir yolu. Etki alanı #R, RR'de #. Aralık # -0.076, 0.826 #

Açıklama:

Etki alanı #R, RR'de # gibi

#RA'da x x, payda # X, ^ 2 + 4> 0 #

let • y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Çapraz çarpma

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# YX ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Bu, ikinci dereceden bir denklem # X #

Ayrımcı olursa çözümler var #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (R4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Bu nedenle, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Bu eşitsizliğin çözümleri

(12-sqrt ((- - 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- - 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

# (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

# -0.076, 0.826 #

grafik {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}