X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktörlendirme)?

Cevap:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (a + bar (a)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + co ^ 2bar (a)) x + 2) (x ^ 2- (co ^ 2alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

aşağıda açıklandığı gibi …

Açıklama:

Uyarı:

Bu cevap, bilmeniz beklenenden daha ileri düzeyde olabilir.

notlar

Basitleştirmek ve bulmak mümkündür:

# alfa + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalfa + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

ama (nasıl) bana bunun nasıl yapılacağı konusunda net değil.

Cevap:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Açıklama:

İşte daha basit bir yöntem …

Verilen:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Formun çarpanlarına bakın:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alfa + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + y) x ^ + 5 (Alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (a + p + y) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (Alphabeta + betagamma + gammaalpha) + 12) x ^ 2 + 4 (a + p + y) x + 8 #

Denklem katsayıları bulduk:

# {(alpha + beta + gama = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Yani #alpha, beta, gama # küpün sıfırları:

# (X-a), (x-P), (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + beta + y) x ^ 2 + (Alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Bu kübik katsayıların toplamının #0#. Yani #1-6+5 = 0#.

bundan dolayı #, X = 1 # sıfır #, (X-1) # bir faktör:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Kalan ikinci dereceden sıfırlar, ikinci dereceden formül olarak kullanılarak bulunabilir:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Yani # {alfa, beta, gama} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Yani:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Yukarıdaki türevi genelleyebilir miyiz?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + Gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + y) x ^ + 5 (Alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + y) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (Alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + y) x + q ^ 3 #

Denklem katsayıları:

# {(alpha + beta + gama = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

bundan dolayı #alpha, beta, gama # Sıfırlar:

# X ^ 3-3qx-p,

Öyleyse bu kübikten üç gerçek sıfır bulabilirsek, cinsiyetçi faktörleşmeye sahip oluruz. # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # Gerçek katsayıları ile üç quadratics içine.