(Z-1) ^ 3 = 8i'nin çözümleri nelerdir?

Cevap:

#zd in {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Açıklama:

Bu problem için nasıl bulacağımızı bilmemiz gerekecek. # N ^ "inci" # karmaşık sayının kökleri. Bunu yapmak için kimliği kullanacağız

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

Bu kimlik nedeniyle, herhangi bir karmaşık sayıyı temsil edebiliriz.

# a + bi = Re ^ (itheta) # nerede #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ve #theta = arctan (b / a) #

Şimdi bulmak için adımlar üzerinden gideceğiz 3. ^ "rd" # karmaşık sayının kökleri # A + bi #. Bulmak için adımlar # N ^ "inci" # kökleri benzer.

verilmiş # a + bi = Re ^ (itheta) # Tüm karmaşık sayıları arıyoruz. • Z öyle ki

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Gibi • Z karmaşık bir sayı, var # R_0 # ve # Theta_0 # öyle ki

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Sonra

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Bundan, hemen biz var # R_0 = R ^ (1/3) #. Üstelik üslerini eşitleyebiliriz. # E #, ancak sinüs ve kosinüs olarak periyodik periyodik # 2pi #, sonra özgün kimliğinden, # E ^ (itheta) # gibi olacak. O zaman biz var

# 3itheta_0 = i (teta + 2pik) # nerede # ZZ'de #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # nerede # ZZ'de #

Ancak eklemeye devam ediyormuşuz gibi # 2pi # tekrar tekrar, aynı değerlere sahip olacağız, kısıtlamaları ekleyerek gereksiz değerleri yok sayabiliriz # 0, 2pi içinde # theta_0 #, yani, #k içinde {0, 1, 2} #

Hepsini bir araya koyarak, çözüm setini alıyoruz

#z içinde {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((+ 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (teta + 4pi) / 3)} #

Bunu geri dönüştürebiliriz # A + bi # kimlik kullanarak istenirse formu

# e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) #

Yukarıdakileri eldeki probleme uygulamak:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Yukarıdaki işlemi kullanarak bulabiliriz. 3. ^ "rd" # kökleri #ben#:

#i = e ^ (ipi / 2) => {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) içinde i ^ (1/3) } #

uygulama # e ^ (itheta) = cos (teta) + isin (teta) # sahibiz

# i ^ (1/3) içinde {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Son olarak, biz bu değerler yerine #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

{2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #