İnt_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx nedir?

Cevap:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arktan (sqrt3) #

Açıklama:

Bu açıklama biraz uzun, ama yapmanın daha hızlı bir yolunu bulamadım …

İntegral doğrusal bir uygulamadır, bu yüzden fonksiyonu zaten integral işareti altında bölebilirsiniz.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

İlk 2 terim polinom fonksiyonlardır, dolayısıyla entegrasyonu kolaydır. Sana nasıl yapıldığını göstereyim. # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # yani # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Aynı şeyi yapıyorsun # X ^ 3 #, sonuç #255/4#.

bulgu #intsqrt, (x-1) / x ^ 2DX # biraz uzun ve karmaşık. İlk önce kesir ile çarpın #sqrt, (x-1) / sqrt (x-1) # ve sonra değişkeni değiştirirsiniz: diyelim #u = sqrt (x-1) #. Yani # Du = 1 / (2sqrt, (x-1)) dx # ve şimdi bulmak zorundasın # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Bunu bulmak için, rasyonel fonksiyonun kısmi kesir ayrışmasına ihtiyacınız var. # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # ile # a, b, c, d, RR #. Matematikten sonra bunu bulduk # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 + 1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, bunun anlamı # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # iyi bilinmektedir, öyle #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

En sonunda, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Sen değiştir # U # orijinal ifadesiyle # X # sahip olmak #intsqrt, (x-1) / x ^ 2DX #, hangisi #artan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

En sonunda, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #