İnt 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt ile nasıl bütünleşirsiniz?

Cevap:

Kullanın # U #-almak için ikame # -3lnabs (yatağı (t)) + C #.

Açıklama:

İlk önce, çünkü not #3# bir sabittir, basitleştirmek için integralden çıkarabiliriz:

# 3int (CSC ^ 2 (t)) / yatağı (t), dt #

Şimdi - ve bu en önemli kısım - türevine dikkat edin #cot (t), # olduğu # -Csc ^ 2 (t), #. Bir fonksiyonumuz ve türevinin aynı integralde mevcut olması nedeniyle, # U # şunun gibi değiştirme:

# U = yatağı (t), #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t), #

# Du = -csc ^ 2 (t), dt #

Olumlu dönüştürebiliriz # CSC ^ 2 (t), # Bunun gibi bir negatif:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / yatağı (t), dt #

Ve ikame işlemini uygulayın:

# -3int (du) / u #

Biz biliyoruz ki #int (du) / u = lnabs (u) + C #Böylece integralin değerlendirilmesi yapılır. Sadece yerine geçenleri değiştirmemiz gerekiyor (cevabı, # T #) ve onu ekleyin #-3# sonuç için. Dan beri # U = yatağı (t), #, söyleyebiliriz:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (yatağı (t)) + C #

Ve hepsi bu.

Cevap:

# 3ln | csc 2t -kot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Açıklama:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Bunu hatırla

#sin 2t = 2sint * maliyet #

Yani

# = 3int dt / ((1/2) günah 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Bir integral tablosunda bulabildiğimiz gibi

(örneğin, SOS Math'da Csc (ax) içeren integral tablosu):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

bu sonucu aldık

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #