Y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü nedir?

# "Karakteristik denklem:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "VEYA" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "dörtlü disk. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "bu yüzden iki karmaşık çözümümüz var"

#z = (1 pm kare (15) i) / 2 #

# "Yani homojen denklemin genel çözümü:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) günah (sqrt (15) x / 2) #

# "Tüm denklemin özel çözümü" #

# "y = x," #

# "Bunu görmek kolaydır." #

# "Yani tam çözüm:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) günah (sqrt (15) x / 2) #

Cevap:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Açıklama:

Sahibiz:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Veya alternatif olarak:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Bu bir üçüncü Sabit katsayılı lineer Homojen Olmayan Diferansiyel Denklemler. Standart yaklaşım bir çözüm bulmaktır. # Y_c # türevlerin katsayıları ile polinom denklemi olan Yardımcı Denklem'e bakarak homojen denklemin elde edilmesi ve sonra bağımsız bir özel çözüm bulunması, # Y_p # homojen olmayan denklemin

Yardımcı denklemin kökleri, çözeltinin parçalarını belirler; eğer doğrusal olarak bağımsız ise, çözeltilerin süperpozisyonu tam genel çözeltiyi oluşturur.

• Gerçek farklı kökler # m = alfa, beta, … # Formun lineer olarak bağımsız çözümler üretecek # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = ^ (betax) # Be, …
• Gerçek tekrarlanan kökler # M = a #, formun bir çözüm üretecek • y = (Ax + B) E ^ (alphax) # Polinomun tekrarla aynı derecede olduğu yerde.
• Karmaşık kökler (eşlenik çiftler olarak oluşması gerekir) # M = p + -qi # formun bir çiftinin lineer olarak bağımsız çözümlerini üretecek • y = e ^ (piksel) (Acos (QX) + Lisansı (QX)) #

Özel Çözüm

Homojen olmayan denklemin özel bir çözümünü bulmak için:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # ile #f (x) = 4 # ….. C

sonra #f (x) # derece polinomu #0#, aynı derecede polinom bir çözüm arayacağız, yani formda #y = a #

Bununla birlikte, böyle bir çözüm CF çözümünde zaten mevcuttur ve bu nedenle formun potansiyel bir çözümünü göz önünde bulundurmalıdır. • y = ax #, Sabitleri nerede # Bir # doğrudan ikame ve karşılaştırma ile belirlenecektir:

Farklılaşan • y = ax # wrt # X # Biz alırız:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Bu sonuçları DE A yerine koyarak elde ettiklerimiz:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

Ve böylece Özel çözümü oluşturuyoruz:

# y_p = x #

Genel Çözüm

Bu daha sonra A} 'nin GS'sine götürür.

# y (x) = y_c + y_p #

# A = E ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Bu çözüme sahip olduğuna dikkat edin. #3# entegrasyon sabitleri ve #3# doğrusallıktan bağımsız çözümler, dolayısıyla Varlık ve Teklik Teoremi tarafından onların üstlenimleri Genel Çözümdür