RR ^ 4'te W alt alanı için bir temel ve belirli sayıda boyut olduğunu varsayalım. Neden boyutların sayısı 2?

Cevap:

4 boyut eksi 2 kısıtlama = 2 boyut

Açıklama:

3. ve 4. koordinatlar sadece bağımsız olanlardır. İlk ikisi, son ikisi olarak ifade edilebilir.

Cevap:

Bir alt uzayın boyutuna, taban alanı tarafından karar verilir, alt uzay olduğu herhangi bir vektör uzayının boyutuna göre karar verilmez.

Açıklama:

Bir vektör uzayının boyutu, o alanın temelindeki vektör sayısı ile tanımlanır (sonsuz boyutlu uzaylar için, bir bazın kardinalitesi ile tanımlanır). Bir vektör uzayının herhangi bir temelinin, diğer herhangi bir temel ile aynı sayıda vektöre sahip olacağını kanıtlayabileceğimizden, bu tanımın tutarlı olduğunu unutmayın.

Bu durumuda # RR ^ n # Biz biliyoruz ki #dim (RR ^ n) = n # gibi

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

bir temelidir # RR ^ n # ve sahip # N # elementler.

Bu durumuda #W = s, RR # t herhangi bir öğeyi içine yazabiliriz # W # gibi #svec (u) + tvec (v) # nerede #vec (u) = (4,1,0,1) # ve #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Bundan, biz var # {vec (u), vec (v)} # için yayılan bir # W #. Çünkü #vec (u) # ve #vec (v) # açıkça birbirlerinin skaler katları değildir (#0#s) bunun anlamı # {vec (u), vec (v)} # için doğrusal olarak bağımsız bir yayılma kümesidir. # W #, bu bir temeldir. Çünkü # W # bir temeli var #2# elementler diyoruz ki #dim (K) = 2 #.

Bir vektör uzayının boyutunun, vektörlerinin daha büyük boyutlu diğer vektör uzaylarında bulunup bulunmadığına bağlı olmadığına dikkat edin. Tek ilişki, eğer # W # bir alt uzaydır # V # sonra #dim (W) <= dim (V) # ve #dim (W) = dim (V) <=> W = V #