İntegral int (ln (x)) ^ 2dx'i nasıl bulurum?

Amacımız gücünü azaltmak #ln x # Böylece integralin değerlendirilmesi daha kolaydır.

Bunu, parçaları bütünleştirmeyi kullanarak başarabiliriz. IBP formülünü aklınızda bulundurun:

#int dv = uv - int v du #

Şimdi izin vereceğiz #u = (lnx) ^ 2 #, ve #dv = dx #.

Bu nedenle, #du = (2lnx) / x dx #

ve

#v = x #.

Şimdi, parçaları bir araya getirerek anlıyoruz:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Bu yeni integral çok daha iyi görünüyor! Biraz sadeleştirmek ve sabiti öne çıkarmak, şunları sağlar:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Şimdi, bu bir sonraki integralden kurtulmak için, parçalara ayırıp ikinci bir entegrasyon yapacağız. #u = ln x # ve #dv = dx #.

Böylece, #du = 1 / x dx # ve #v = x #.

Montaj bize verir:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Şimdi, yapılacak tek şey sadeleştirmek, entegrasyon sabitini eklemek akılda tutularak:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

Ve işte orada. Unutma, parçalara göre entegrasyon tamamen toplama ile ilgilidir. # U # Böylece dağınık şeyler integrand'den elimine edilir. Bu durumda biz getirdik # (ln x) ^ 2 # aşağı #ln x #, ve sonra aşağı 1. / x #. Sonunda, bazı # X #iptal edildi ve entegrasyonu kolaylaştı.