Bayan Fox, sınıfının 4.2 toplamı ve 2 rasyonel veya irrasyonel karekökü olduğunu sordu. Patrick toplamın irrasyonel olacağını söyledi. Patrick'in doğru mu yanlış mı olduğunu belirtin. Sebeplerini haklı göster.

Cevap:

Toplam # 4.2 + sqrt2 # irrasyoneldir; yinelenmeyen ondalık genişletme özelliğini miras alır #sqrt 2 #.

Açıklama:

bir irrasyonel sayı iki tamsayının oranı olarak ifade edilemeyen bir sayıdır. Bir sayı irrasyonel ise, ondalık genişlemesi sonsuza dek bir düzen olmadan devam eder ve bunun tersi de geçerlidir.

Bunu zaten biliyoruz #sqrt 2 # irrasyoneldir. Ondalık genişlemesi başlar:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Numara #4.2# olduğu akılcı; olarak ifade edilebilir #42/10.# Ondalık genişletmeye 4.2 eklediğimizde #sqrt 2 #, anlıyoruz:

#sqrt 2 + 4.2 = renk (beyaz) + 1.414213562373095 … #

#color (beyaz) (sqrt 2) renk (beyaz) + renk (beyaz) (4.2 =) + 4.2 #

#color (beyaz) (sqrt 2) renk (beyaz) + renk (beyaz) (4.2 =) bar (renk (beyaz) (+) 5.614213562373095 …) #

Bu toplamın aynı zamanda sonlandırmadığı ya da yinelenen bir paterni olmadığı kolayca görülebilir, bu yüzden de irrasyoneldir.

Genel olarak, rasyonel bir sayının ve irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyonel olacaktır; argüman yukarıdakine benzer.

Cevap:

#color (mavi) ("doğru") #

Açıklama:

Toplamın rasyonel olduğunu söyleyerek başlarsak: Tüm rasyonel sayılar iki tamsayının bölümü olarak yazılabilir. # A / bcolor (beyaz) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + SQRT (2) a / b # =

#sqrt (2) a / b-21/5 # =

#sqrt (2) = (5a-21 b) / (5b) #

İki tamsayının ürünü bir tam sayıdır:

İki tamsayının farkı bir tam sayıdır:

Yani:

# 5a-21b # bir tam sayı.

# 5b # bir tam sayı.

Dolayısıyla:

# (5a-21 b) / (5b) # rasyonel.

Ama bunu biliyoruz #sqrt (2) # irrasyonel olduğu için, bu toplamın rasyonel olduğu varsayımımızın bir çelişkidir, bu nedenle irrasyonel sayı ve rasyonel sayıların toplamı her zaman irrasyoneldir.