Doğruluk testi f?

Cevap:

# F # dışbükey # RR #

Açıklama:

Sanırım çözüldü.

# F # 2 kere ayırt edilebilir # RR # yani # F # ve # F '# sürekli # RR #

Sahibiz # (F (x)) ^ 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Aldığımız her iki parçayı ayırt etmek

3. * (f (x)) ^ 2f '(x) + 3f' (x) = e ^ x SiNx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '(x) ((f (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x SiNx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # yani #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '(x) = (E ^ x-SiNx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f (x)) ^ 2 + 1)> 0) #

Pay işaretine ihtiyacımız var, böylece yeni bir fonksiyon düşünelim

#g (x) = e ^ x SiNx + 3x ^ 2 + 2 # , # X ##içinde## RR #

#g '(x) = e ^ x cosx + 6x #

Bunu farkettik #g '(0) = e ^ 0-CoS0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

İçin # X = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

İçin # X = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / E ^ π + cosπ-6π = 1 / E ^ π-1-6π <0 #

Sonunda monotonluğunu gösteren bu tabloyu aldık. # G #

Sözde # I_1 = (- oo, 0 # ve # I_2 = 0, + oo) '#

#g (I_1) = gr ((- oo, 0) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3 + oo) '#

#g (I_2) = gr (0, + oo) ') = g (0), lim_ (xrarr + oo)' g (x)) = 3 + oo) '#

Çünkü

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-SiNx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - SiNx <= 1 # #<=>#

# E ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 SiNx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Bizim sıkma / sandviç teoremini kullanarak

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ + 3x 2) #

Bu nedenle, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) 'g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x SiNx + 3x ^ 2 + 2) #

Aynı süreçle sona ereriz

# E ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Ancak, #lim_ (xrarr + oo) '(e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Bu nedenle, #lim_ (xrarr + oo) 'g (x) = + oo #

Aralığı # G # olacak:

# R_g = gr (D_g) = gr (I_1) uug (I_2) = 3 + oo) '#

• # 0! İnR_g = 3 + oo) # yani # G # köksiz # RR #

  # G # süreklidir # RR # ve hiçbir çözümü yoktur. Bu nedenle, # G # oturum açmadan korur # RR #

Bunun anlamı

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Böylece, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Sonuç olarak #g (x)> 0 #, # X ##içinde## RR #

Ve #f '' (x)> 0 #, # X ##içinde## RR #

#-># # F # dışbükey # RR #

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

verilmiş #y = f (x) # eğri eğri yarıçapı

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # verilen

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # sahibiz

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # veya

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # veya

# 1 / (f '(1 + (f) ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-SiNx + 2) # veya

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) #

şimdi analiz #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # sahibiz

#min g (x) = 0 # için #R, RR'de # yani #g (x) ge 0 # ve sonra eğriliği

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # işareti değiştirmez bu yüzden #f (x) # epigraph dışbükey # RR #