[1, ln2] kalayındaki r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) yay uzunluğu nedir?

[1, ln2] kalayındaki r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) yay uzunluğu nedir?
Anonim

Cevap:

Yay uzunluğu #~~ 2.42533 # (5DP)

Yay uzunluğu, alt sınır nedeniyle negatif #1# üst sınırından daha büyük olmak # Ln2 #

Açıklama:

Parametrik bir vektör fonksiyonuna sahibiz:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Yay uzunluğunu hesaplamak için ürün kuralını kullanarak hesaplayabileceğimiz vektör türevini isteyeceğiz:

# bb ul r '(t) = << (t) (2t ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Sonra türev vektörün büyüklüğünü hesaplıyoruz:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Ardından ark uzunluğunu aşağıdakileri kullanarak hesaplayabiliriz:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Bu integrali analitik teknik kullanarak hesaplamamız pek mümkün değildir, bu yüzden Sayısal Yöntemler kullanarak bir yaklaşım elde ederiz:

# L ~~.4 2.42533 # (5DP)

Yay uzunluğu, alt sınır nedeniyle negatif #1# üst sınırından daha büyük olmak # Ln2 #