Lokal ekstrema y = sin x cos x'i belirlemek için ilk türev testini nasıl kullanırım?

Cevap:

İçin ekstrema • y = sin (x) cos (x) # Hangi

#, X = pi / 4 + NPI / 2 #

ile # N # göreceli bir tamsayı

Açıklama:

olmak #f (x) # varyasyonunu temsil eden fonksiyon • y # repsect ile # X #.

olmak #f '(x) # türevi #f (x) #.

#f '(a) # eğimi #f (x) # eğrisi # X bir # = puan.

Eğim pozitif olduğunda, eğri artmaktadır.

Eğim negatif olduğunda, eğri azalır.

Eğim boş olduğunda, eğri aynı değerde kalır.

Eğri bir ekstremuma ulaştığında, artmayı / azalmayı durduracak ve azalmaya / artmaya başlayacaktır. Başka bir deyişle, eğim, sıfır değerinden pozitifden negatife veya negatifden pozitifine geçecektir.

Bu nedenle, bir fonksiyonun ekstrema'sını arıyorsanız, türevinin boş değerlerini aramalısınız.

N.B. Türev boş olduğunda bir durum vardır, ancak eğri aşırı bir noktaya ulaşmaz: buna eğilme noktası denir. Eğri anlık olarak artmayı / azalmayı durduracak ve ardından artmaya / azalmaya devam edecektir. Bu nedenle, eğimin işaretinin boş değerinin etrafında değişip değişmediğini de kontrol etmelisiniz.

Örnek: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (DKG (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) #

Şimdi biz için bir formül var #f '(x) #boş değerlerini arayacağız:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

Çözümler # Pi / 4 + NPI / 2 # ile # N # göreceli bir tamsayı.

Cevap:

İlk türev testini kullanmayı planlasak bile, bunu gözlemlemeye değer. #y = 1/2 günah (2x) #.

Açıklama:

Bu gözlemi yaptıktan sonra, ekstremayı bulmak için gerçekten hesaplamaya ihtiyacımız yoktur.

Trigonometri ve sinüzoidal fonksiyonların grafikleri bilgimize güvenebiliriz

Maksimum değer (1/2) # 2x = pi / 2 + 2pik # ya da ne zaman #x = pi / 4 + pik # için # K Bir tam sayı.

Minimumda gerçekleşir #x = 3pi / 4 + pik # için # K Bir tam sayı.

Türevi kullanabiliriz, ancak buna gerçekten ihtiyacımız yok.

Türev Kullanımı

Yeniden yazılmış olması • y #hızlıca görebiliriz #y '= cos (2x) #

Yani kritik sayılar • y # Hangi # 2x = pi / 2 + 2pik # ve # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (kosinüs olduğunda #0#) veya

# x = pi / 4 + pik # ve # x = (3pi) / 4 + pik #

İşareti kontrol ediliyor #y '= cos (2x) #İlk kritik sayı setinde maksimum değerleri ve ikinci değerdeki minimum değerleri bulacağız.