F (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) 'nin ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Sahibiz:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

Adım 2 - Kritik Noktaları Belirleyin

Eşzamanlı bir çözümde kritik bir nokta ortaya çıkar

# f_x = f_y = 0 iff (kısmi f) / (kısmi x) = (kısmi f) / (kısmi y) = 0 #

yani, ne zaman:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # eşzamanlı

Hangisini kurabiliriz:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

Böylece biz şunu gerektirir:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

O zaman iki (sonsuz düzlem) çözümümüz var:

#:. x = + - y #

Ve böylece, eğri ve iki düzlem arasındaki kesişimin tüm uzunlukları boyunca sonsuz sayıda kritik nokta olduğu sonucuna vardık. #x = + - y #

Adım 3 - Kritik noktaları sınıflandırın

Kritik noktaları sınıflandırmak için, ikinci kısmi türevleri ve Hessian Matrix'i kullanarak bir değişken hesabına benzer bir test yapıyoruz.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((kısmi ^ 2 f) / (kısmi x ^ 2), (kısmi ^ 2 f) / (kısmi x kısmi y)), ((kısmi ^ 2 f) / (kısmi y kısmi x), (kısmi ^ 2 f) / (kısmi y ^ 2)) | #

# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sonra değerine bağlı olarak #Delta#:

# {: (Delta> 0, "En fazla" f_ (xx) <0), (, "ve en az" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "bir eyer noktası var")), (Delta = 0, "Daha fazla analiz gerekli"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

İşareti kabul etmeliyiz #Delta#ve biz bunu not ediyoruz # e ^ z gt RR # içinde 0 AA z, bu yüzden sadece işareti düşünmeniz gerekir:

# Delta '= -8 xy e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

Yani, işarete bağlı olarak #Delta'# düzlem boyunca sonsuz sayıda maksima ve eyer noktamız var. # x = + - y #

İşte fonksiyonun bir grafiği

Ve işte uçakları içeren fonksiyonun bir grafiği # x = + - y #