MacLaurin'in f (x) = sinhx için formülünü nasıl bulabilir ve 0.01 içinde f (1/2) yaklaşık olarak nasıl kullanabilirim?

Cevap:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Açıklama:

Tanımını biliyoruz #sinh (x) #:

#sinh (x) = (E ^ x-e ^ -x) / 2 #

Maclaurin serisini bildiğimizden beri # E ^ x #, bir tane oluşturmak için kullanabiliriz. #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3) … #

Serisini bulabiliriz # E ^ -x # değiştirerek # X # ile # -X #:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (= X) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 ' -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Numaranızı bulmak için bu ikisini birbirinden çıkarabiliriz. # SİNH # tanım:

#color (beyaz) (-. e ^ -x) e ^ x = renk (beyaz) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x, ^ / (! 3) 3 + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (beyaz) (e ^ x) -e ^ -x -1 = + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = renk (beyaz) (lllllllll) 2xcolor (beyaz) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Rengi (Beyaz) (lll lll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Tüm çift terimlerinin iptal ettiğini ve tüm tek terimlerin iki katına çıktığını görebiliriz. Bu modeli şu şekilde temsil edebiliriz:

# e ^ x-e ^ -x = toplam_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Tamamlamak için #sinh (x) # serisi, bunu sadece bölmemiz gerekiyor #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Şimdi hesaplamak istiyoruz #f (1/2) # en az bir doğrulukla #0.01#. Lagrange hatasının bu genel biçimini, bir derece taylor taylor polinomuna bağlı biliyoruz. # X = C #:

# | R_n (x) | <| E / (! (N + 1)), (x-c) ^ (n + 1) | # nerede # M # aralıktan nth türevine bir üst sınırdır. # C # için # X #.

Bizim durumumuzda, genişleme bir Maclaurin serisidir, yani # C = 0 # ve # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Yüksek mertebeden türevler #sinh (x) # ya olacak #sinh (x) # veya #cosh (x) #. Tanımları göz önüne alırsak, bunu görürüz. #cosh (x) # her zaman daha büyük olacak #sinh (x) #, bu yüzden çalışmalıyız # M #-için bağlı #cosh (x) #

Hiperbolik kosinüs fonksiyonu her zaman artmaktadır, bu nedenle aralıktaki en büyük değer #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (E ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = E #

Şimdi bunu Lagrange hatasını bağladık:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

İstiyoruz # | R_n (x) | # daha küçük olmak #0.01#, biraz denedik # N # o noktaya gelene kadar değerler (polinomdaki terimler ne kadar az olursa, o kadar iyi). Bunu bulduk # N = 3 # bize küçük hatalardan küçük hatalar verecek ilk değerdir. #0.01#bu yüzden 3. derece taylor polinom kullanmamız gerekiyor.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2N + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #