N = 2 olduğunda sonsuz geometrik seri 10 (2/3) ^ n'nin toplamını nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

Cevap ya #40/9# veya #40/3# soruyla neyin kastedildiğine bağlı olarak.

Açıklama:

Peki eğer #n = 2 # o zaman bir miktar yok, cevap sadece:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Fakat belki de soru, sonsuz toplamın baştan alınmasını istemek demekti. # N = 2 # Öyle ki denklem şöyle:

#sum_ (n = 2) ^ son 10 (2/3) ^ n #

Bu durumda, önce herhangi bir geometrik dizinin formda görülebildiğini belirterek hesaplayacağız:

#sum_ (n = 0) ^ sonlu ar ^ n #

Bu durumda serimiz #a = 10 # ve #r = 2/3 #.

Ayrıca şunu not edeceğiz:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Böylece geometrik serilerin toplamını hesaplayabiliriz. # (2/3) ^ n # ve sonra bu toplamı çarpma #10# sonuçlarımıza varmak için. Bu işleri kolaylaştırır.

Ayrıca denklemimiz var:

#sum_ (n = 0) ^ sonlu r ^ n = 1 / (1-r) #

Bu, diziden başlayarak toplamı hesaplamamızı sağlar. # N = 0 #. Ama biz onu hesaplamak istiyoruz # N = 2 #. Bunu yapmak için, basitçe çıkartacağız. # N = 0 # ve # N = 1 # tam toplamdan terimler. Toplamanın ilk birkaç terimini yazarken şöyle göründüğünü görebiliriz:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Bunu görebiliriz:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#