Kobalt 60'ın yarı ömrü 5 yıldır. Kobalt 60 için üstel bir bozunma modelini Q (t) = Q0e ^ kt şeklinde nasıl elde edersiniz?

Cevap:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Açıklama:

Diferansiyel bir denklem kurduk. Kobalt değişim hızının mevcut kobalt miktarıyla orantılı olduğunu biliyoruz. Bunun bir çürüme modeli olduğunu da biliyoruz, bu nedenle negatif bir işaret olacak:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Bu güzel, kolay ve ayrılabilir bir fark.

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

#, ima eder: ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Üstellerle her iki tarafı da yükselt:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Şimdi genel formu bildiğimize göre, neyi çözmemiz gerekiyor # K olduğunu.

Yarım yaşamın göstereceği # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Her iki tarafın doğal kayıtlarını alın:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (1 (1/2)) / tau #

Düzen için, yeniden yazın #ln (1/2) = -ln (2) #

#kinden önce k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (-1)

#herden önce Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #