Bir barış konferansında m Martyalılar ve Topraklar olduğunu varsayalım. Konferansta Marslıların barışçıl kalmasını sağlamak için, iki Marslı'nın bir arada oturmamasını sağlamalıyız, öyle ki iki Marslı arasında en az bir Earthling var mı?

Cevap:

a) # (N!, (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Açıklama:

Bazı ekstra gerekçelere ek olarak, saymak için üç ortak teknik kullanacağız.

İlk olarak, eğer varsa gerçeğinden faydalanacağız. # N # bir şeyi yapmanın yolları ve # M # Bir başkasını yapma yolları, sonra görevlerin bağımsız olduğu varsayılarak (biri için yapabileceklerin diğerinde yaptıklarına güvenmiyor), # Nm # her ikisini de yapmanın yolları. Örneğin, beş tişörtüm ve üç çift pantolonum varsa, o zaman #3*5=15# Kıyafetler yapabilirim.

İkincisi, sipariş yollarının sayısını kullanacağız. # K nesneler #K! #. Bunun nedeni var # K ilk nesneyi seçme yolları # K-1 # ikinciyi ve benzerlerini seçme yolları. Böylece toplam yol sayısı #K (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Sonunda, bu seçim yollarının sayısını kullanacağız. # K bir dizi nesneden # N # nesneler # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (olarak telaffuz edilir n k seç). Bu formüle nasıl ulaşılacağına dair bir taslak burada verilmiştir.

a) Başlangıçta bölmeleri göz ardı edersek, #m! # Marslıları sipariş etme yolları ve #n! # Dünyalıları sipariş etmenin yolları. Son olarak, Marslıların nereye yerleştirildiğini görmemiz gerekiyor. Her Marslı ya bir ucuna ya da iki Dünyalı arasına yerleştirilmesi gerektiğine göre, # N + 1 # oturabilecekleri yerler (her Dünya Topluluğunun solunda ve sonra en sağda bir tane). Olduğu gibi # M # Marslılar, bu demek oluyor ki # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # onları yerleştirmenin olası yolları. Böylece toplam oturma düzeni mümkün

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Bu problem yukarıdakine benzer. İşleri kolaylaştırmak için haydi bir Earthling seçelim ve ona başkan diyelim. Bir dairenin nasıl döndürüldüğü önemli olmadığı için, mutlak bir sıralamaya dayalı oturma düzenlemelerine atıfta bulunmak yerine, cumhurbaşkanı ile ilişkilerine dayanarak oturma düzenlemelerini dikkate alacağız.

Yukarıdaki gibi, başkandan başlayıp dairenin etrafında saat yönünde devam edersek, kalan katılımcıları sipariş etme yöntemlerinin sayısını sayabiliriz. Olduğu gibi # M # Marslılar ve # N-1 # kalan Dünyalılar, var #m! # Marslıları sipariş etme yolları ve # (N-1)! # kalan Dünyalıları sipariş etmenin yolları.

Sonra, bir kez daha Marslıları yerleştirmemiz gerekiyor. Bu sefer sonunda ek bir yerimiz yok, o yüzden sadece # N # oturabilecekleri yerler. O zaman var # ((N) (m)) = (n!) / (M,! (N-m)!) # onları yerleştirmenin yolları. Böylece toplam oturma düzeni mümkün

# (N-1)! M! (N!) / (M,! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #