Bir araştırma görevlisi 160 mg radyoaktif sodyum (Na ^ 24) yaptıysa ve 45 saat sonra sadece 20 mg kaldığını tespit ettiğinde (Na ^ 24) yarı ömrü ne kadardır?

Cevap:

#color (blue) ("Yarı ömür 15 saattir.") #

Açıklama:

Formun bir denklemini bulmalıyız:

#A (t) A, (0) E ^ (kt) # =

Nerede:

#BB (A (t)) = # zamandan sonraki miktar t.

#BB (A (0) = # başlangıçtaki miktar. yani, t = 0.

# Bbk = # büyüme / bozulma faktörü.

# Bbe = # Euler'ın numarası.

# Bbt = # saat, bu durumda saatler.

Verildi:

#A (0) = 160 #

#A (45), 20 # =

Çözmemiz gerek # Bbk #:

20. = 160e ^ (45k) #

160'a bölün:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Her iki tarafın da doğal logaritmalarını alarak:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Dolayısıyla:

#ln (1/8) = 45k #

45'e bölmek:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Tanım gereği yarı ömür, başlangıç miktarının yarısına sahip olduğumuz süredir:

#A (t), 80 # =

Bu yüzden t in için çözmemiz gerekiyor:

80. = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Doğal logaritma alarak:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

45. * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

Yarı ömrü 15 saattir.

Cevap:

15 saat

Açıklama:

• Hızlı yol

Çürüyen bir maddenin miktarı üzerinde yarıya her yarı ömür (bu nedenle isim), adım adım miktarın yarıya çıkarılması için 160 ile 20 arasında bir adım atmanız gerekir:

• # 160 ila 80 ila 40 ila 20

Ve #45 = 3 * 15#

Yani yarı ömür 15 yıldır.

• Daha resmi bir şekilde

Yarı ömür için # Tau #, nerede # X (t) # t zamanında kalan miktar (kütle / parçacık sayısı / vs):

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad kare #

Yani:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

Verilen değerlerin girilmesi #kare#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3, tau = 15 # anlamına gelir