Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğru / yanlış? Cevabınızı doğrulayın. (i) R²'de sonsuz sayıda sıfır olmayan, uygun vektör alt alana sahiptir (ii) Her homojen lineer denklem sisteminin sıfır olmayan bir çözümü vardır.

Cevap:

# #

# "(haklıyım. " #

# "(ii) Yanlış." #

Açıklama:

# #

# "Kanıtlar." #

# "(i) Böyle bir alt alan kümesi oluşturabiliriz:" #

# "1)" forall r, RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x), RR ^ 2 'de. #

# "Geometrik olarak" V_r "," RR ^ 2 "," eğim "in kökeni çizgisidir. #

# "2) Bu alt alanların iddiayı haklı gösterdiğini kontrol edeceğiz (i)." #

# "3) Açıkça:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Şunlara dikkat edin:" qquad qquad V_r "," RR ^ 2 için uygun bir alt alandır. #

# "Let:" qquad u, v V_r içinde, alpha, beta RR. qquad qquad qquad quad "Bunu doğrulayın:" quad alpha u + beta v, V_r. #

# u, v in V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "bazıları için" x_1, x_2 RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alfa (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alfa x_1, alfa r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alfa x_1 + beta x_2, alfa r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alfa x_1 + beta x_2, r (alfa x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3), V_r içinde; qquad "" x_3 = alpha x_1 + beta x_2 ile. #

# "Öyleyse:" qquad qquad qquadu, v 'de V_r, alpha, beta, RR quad rArr quad alpha u + beta v ' da V_r. #

# "Böylece:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "" RR ^ 2'nin bir alt alanıdır. #

# "" V_r "öğesinin sıfır olmadığını görmek için şunu unutmayın:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) V_r, "ve" (1, r) ne (0, 0).

# "" V_r "'nin uygun olduğunu görmek için" "," (1, r + 1)!

# (1, r + 1) V_r rArr "(" V_r "yapısına göre)" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "açıkça imkansız." #

# "Böylece:" qquad qquad qquad V_r "," RR ^ 2 öğesinin sıfır olmayan, uygun bir alt alanıdır. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Şimdi sınırsız sayıda alt alan bulunduğunu göster" V_r. #

# "Let:" qquad qquad r, s RR içinde. qquad qquad qquad quad "Göstereceğiz:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Tanımı gereği:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) V_s cinsinden. #

# "Açıkça:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Böylece:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Öyleyse RR'deki her " r "farklı bir alt boşluk üretir" V_r. #

# "Bu, (1) ile birlikte şunları verir:" #

# "Alt alanların ailesi:" R ' r "" "sonsuz bir ailedir" #

" RR ^ 2" nin sıfır olmayan, uygun alt uzaylarının # "si. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad kare #

# "(ii) Bu aslında kolaydır. Sistem kare ise ve" #

# "sistemin katsayısı matrisi ters çevrilebilir, sadece orada olacak" #

# "sıfır çözüm." #

# "Diyelim ki:" qquad qquad quad A "kare, ters çevrilemez bir matristir." #

# "Homojen sistemi göz önünde bulundurun:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Böylece," A "olduğu gibi ters çevrilebilir:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Bu nedenle, homojen sistem" A x = 0, "bir" # içermez

# "sıfır olmayan çözüm." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad