Grafik olmadan, aşağıdaki lineer denklem sistemlerinin tek bir çözümü, sonsuz sayıda çözümü olup olmadığına nasıl karar veriyorsunuz?

Cevap:

Bir sistem # K # doğrusal denklemler # K # denklemler arasında doğrusal bir bağımlılık içermeyen bilinmeyen değişkenler (diğer bir deyişle, determinant sıfır olmayan) bir ve sadece bir çözüme sahip olacaktır.

Açıklama:

İki bilinmeyen değişkenli iki doğrusal denklem sistemini düşünelim:

# Ax + tarafından = C #

# Dx + Ey = F #

Eğer çift # (A, B) # çiftle orantılı değil # (D, E) # (yani, böyle bir sayı yok # K o # D = kA # ve # E = kB #, durum tarafından kontrol edilebilir # A * E-B * D! = 0 #) o zaman tek bir çözüm var:

#, X = (C * e-B * K) / (A * e-B * D), #, • y = (A * K-C * D) / (A * e-B * D), #

Örnek:

x + y = 3 #

# X-2y = -3 #

Çözüm:

#, X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 x (- 2) -1 * 1) = 1 #

• y = (1 x (- 3) -3 * 1) / (1 x (- 2) -1 * 1) = 2 #

Eğer çift # (A, B) # çiftle orantılı # (D, E) # (Bu, böyle bir sayı olduğu anlamına gelir. # K o # D = kA # ve # E = kB #, bir koşulla kontrol edilebilir # A * E-B * D = 0 #), iki durum vardır:

(a) eğer sınırsız sayıda çözüm # C # ve # F # aynı katsayı ile orantılı # A # ve # D #, yani # F = kC #, nerede # K aynı orantı katsayısıdır;

Örnek:

x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

İşte # K = 2 # tüm çiftler için: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

İkinci denklem, birincinin önemsiz bir sonucudur (sadece ilk denklemi çarpın. #2#) ve bu nedenle, bilinmeyen hakkında ek bilgi sağlamaz, denklem sayısını etkili bir şekilde 1'e düşürür.

(b) eğer hiç bir çözüm yok #F! = KC #

Örnek:

#, X + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

Bu durumda denklemler birbiriyle çelişir, çünkü ilkini 2 ile çarparak denklemi elde ederiz. # 2x + 8y = 6 #ile ortak bir çözümü olamaz # 2x + 8y = 5 # Çünkü bu iki denklemin sol kısımları eşit, fakat sağ kısımlar eşit değil.