Rasyonel ifadenin (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2) kısmi kesirli ayrıştırmasını nasıl yazarsınız?

Cevap:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1),) - 1 / (2 (x + 1)) #

Açıklama:

Verilen ifadeyi kısmi kesirler halinde yazmak için, paydayı çarpanlara ayırmayı düşünüyoruz.

Paydayı çarpanlara ayıralım

#color (mavi) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Rengi (mavi) (x ^ 2, (x-2) - (a-2)) #

# = Rengi (mavi) ((x-2), (x ^ 2-1)) #

Polinom kimliğini uygulamak:

#color (turuncu) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

sahibiz:

#color (mavi) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = Rengi (mavi) ((x-2), (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = Rengi (mavi) ((x-2), (x-1) (x + 1)) #

Mantıklı ifadeyi bularak çözelim. # A, B ve C #

#color (kahverengi) (A /, (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = rengi (yeşil) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-X 2)) #

#color (kahverengi) (A /, (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = Rengi (kahverengi) ((A (x-1), (x + 1)) / (a-2) + (B (x-2), (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2), (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (X ^ 2x-2x + 2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-a-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cc ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2), (x-1) (x + 1) #

# = Rengi (kahverengi) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C), x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1) (x + 1)) #

# = Rengi (kahverengi) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C), x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2), (x-1) (x + 1)) = renk (yeşil) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Sonra, #rArrcolor (kahverengi) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C), x + (- A-2B + 2C)) = rengi (yeşil) (3x) #

Üç bilinmeyenli üç denklem sistemimiz var # A, B ve C #

# A + B + C = 0 # EQ1

# -B-3C = 3 # EQ2'ye

# A-2B + 2C = 0 # EQ3

Sistemi çözmeye başlamak

EQ2'ye:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (kırmızı) (B = -3-3C) #

ikame # B # eq1’de biz:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (kırmızı) (A = + 2C 3) #

ikame #B ve C #eq3'te biz var:

# A-2B + 2C = 0 # EQ3

# RArr- (renkli (kırmızı) (3 + 2C)) - 2 (renkli (kırmızı) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# RArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# RArr + 3 + 6C = 0 #

# RArr6C = -3 #

#rArrcolor (kırmızı) (C = -1/2) #

#color (kırmızı) (B = -3-3C) = - 3-3color (kırmızı) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (kırmızı) (B = -3/2 #

#color (kırmızı) (A = 3 + 2 c) = 3 + 2 (-1/2) 3-1 # =

#color (kırmızı) (A = 2) #

Değerleri değiştirelim:

#color (yeşil) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) =) renk (kahverengi) (renk (kırmızı) 2 / (x-2) + (renkli (kırmızı) (- 3 / 2)) / (x-1) + renkli (kırmızı) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Bu nedenle, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1),) - 1 / (2 (x + 1)) #