Normalde okulda öğretilmeyen hangi eğlenceli, kullanışlı, matematiksel gerçeği biliyorsunuz?

Cevap:

"Üs kuleleri" nasıl değerlendirilir? #2^(2^(2^2))#, ve son rakamı nasıl 2. ^ n # # NinNN #.

Açıklama:

Bu "kuleleri" değerlendirmek için tepeden başlayıp aşağıya iniyoruz.

Yani:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Benzer, ancak biraz alakasız bir notta, son rakamlarının nasıl hesaplanacağını da biliyorum. #2# herhangi bir doğal üsse yükseltilmiş. Son rakamı #2# bir şeye yükseltildiğinde daima dört değer arasında geçiş yapar: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Yani son rakamını bulmak istiyorsanız 2. ^ n #, döngünün neresinde olduğunu ve son basamağını bileceksiniz.

Cevap:

Eğer #n> 0 # ve # Bir # bir yaklaşımdır #sqrt (n) #, sonra:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

nerede #b = n-a ^ 2 #

Açıklama:

Diyelim ki bir sayının karekökünü bulmak istiyoruz. #n> 0 #.

Dahası, sonucun her adımda tekrar eden bir çeşit sürekli kesir olmasını istiyoruz.

Deneyin:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (beyaz) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))))

#color (beyaz) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

çıkarmak # Bir # Her iki uçtan almak için:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

İki tarafı da çarp #sqrt (n) + a # almak:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Öyleyse # Bir ^ 2 # biraz daha az # N #, sonra # B # küçük olacak ve devam eden bölüm daha hızlı bir şekilde birleşecektir.

Örneğin, eğer varsa # N = 28 # ve Seç # A = 5 #, sonra alırız:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Yani:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

Bu bize yaklaşımları verir:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103, ~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~ 5 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~ 5,2915094 #

Bir hesap makinesi bana söyler #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Dolayısıyla bu özellikle hızlı bir şekilde birleşmiyor.

Alternatif olarak, koyabiliriz # N = 28 # ve # A = 127/24 # bulmak:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Yani:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…)))

bize yaklaşımları vererek:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127/24 - (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Bu çok daha hızlı yaklaşıyor.

Cevap:

Yinelemeli olarak tanımlanmış bir sekans kullanarak kareköklere yaklaşımları bulabilirsiniz.

Açıklama:

#Beyaz renk)()#

Yöntem

Olumlu bir tamsayı verilir # N # mükemmel bir kare değil:

• let #p = kat (sqrt (n)) # karesi aşmayan en büyük pozitif tamsayı olmak # N #.

• let #q = n-p ^ 2 #

• Bir tam sayı dizisini şu şekilde tanımlayın:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "için" i> = 1):} #

Ardından, dizinin ardışık terimleri arasındaki oran doğru olacaktır. # P + sqrt (n) #

#Beyaz renk)()#

Örnek

let # N = 7 #.

Sonra #p = kat (sqrt (7)) = 2 #, dan beri #2^2=4 < 7# fakat #3^2 = 9 > 7#.

Sonra # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Böylece dizimiz başlıyor:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Teoride ardışık terimler arasındaki oran doğru 2. + SQRT (7) #

Bakalım:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Bunu not et # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#Beyaz renk)()#

Nasıl çalışır

Diyelim ki verilen değerler tarafından tanımlanan bir dizilimimiz var. # a_1, a_2 # ve bir kural:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

bazı sabitler için # P # ve # Q #.

Denklemi göz önünde bulundurun:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Bu denklemin kökleri şunlardır:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Sonra genel terim ile herhangi bir dizi # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # Belirlediğimiz yineleme kuralını yerine getirecektir.

Sonraki çözme:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

için # A # ve # B #.

Bulduk:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 ((x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

ve dolayısıyla:

# A = (a_1x_2-A_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-A_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Yani bu değerleri ile # x_1, x_2, A, B # sahibiz:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Eğer #q <3p ^ 2 # sonra #abs (x_2) <1 # ve ardışık terimler arasındaki oran doğru # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Cevap:

Modüler bölüm

Açıklama:

Modüler bölünme, cevabın gerçek değer yerine geri kalan kısım olması dışında bölümle aynıdır. Yerine #-:# sembolünü kullanın #%# sembolü.

Mesela, eğer çözmek için #16-:5# alırdın #3# geri kalan kısım #1# veya #3.2#. Ancak, modüler bölünme kullanarak, #16%5=1#.

Cevap:

Karelerin toplamlarla değerlendirilmesi

Açıklama:

Normalde, kareler gibi #5^2=25#. Ancak, sayılar gibi büyüdüğünde #25^2#, kafanın üstünden bilmek zorlaşıyor.

Bir süre sonra karelerin tek sayıların toplamı olduğunu fark ettim.

Demek istediğim bu:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # nerede # K temel değer eksi #1#

Yani #5^2# olarak yazılabilir:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Bu sana verecek:

#1+3+5+7+9#

Bu, aslında #25#.

Rakamlar her zaman artış gösterdiğinden #2#, Sonra ilk ve son sayıyı ekleyebilir ve sonra ile çarpabilirim # K / 2 #.

İçin böylece #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Yani sadece yapabilirim #(49+1)(25/2)# ve Al #25^2# hangisi #625#.

Gerçekten pratik değil ama bilmek ilginç.

#Beyaz renk)()#

Bonus

Bilerek:

# n ^ 2 = yenmek (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n terimleri" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

kareler arasındaki farklarla ilgili bazı problemleri çözmemize izin verir.

Örneğin, pozitif tamsayılardaki tüm çözümler nelerdir? #m, n # arasında # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Bu, ardışık tuhaf tam sayıların toplamının ne kadar topladığını bulmada azalır. #40#…

# 40 = fazla alım (19 + 21) ^ "ortalama 20" #

#color (beyaz) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (beyaz) (40) = (((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (beyaz) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = fazla alım (7 + 9 + 11 + 13) ^ "ortalama 10" #

#color (beyaz) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (beyaz) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (beyaz) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #