(3 + i) ^ (1/3) a + bi formunda eşittir?

Cevap:

# kök (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + kök (6) (10) günah (1/3 arctan (1/3)) i #

Açıklama:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + günah (alfa)) # nerede #alpha = arctan (1/3) #

Yani

#root (3) (3 + i) = kök (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + ı günah (alfa / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + günah (1/3 arctan (1/3))) #

# = kök (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + kök (6) (10) günah (1/3 arctan (1/3)) i #

Dan beri 3. + i # Q1’de, bu ana küp kökü 3. + i # aynı zamanda Q1’de.

Diğer iki küp kök 3. + i # Birliğin ilkel karmaşık küp kökü kullanılarak ifade edilebilir # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

# omega (kök (6) (10) cos (1/3 arktan (1/3)) + kök (6) (10) günah (1/3 arktan (1/3)) i) #

# = kök (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + kök (6) (10) günah (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) #

# omega ^ 2 (kök (6) (10) cos (1/3 arktan (1/3)) + kök (6) (10) günah (1/3 arktan (1/3)) i) #

# = kök (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + kök (6) (10) günah (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) #